Wie hoch muss ein zu einer Kugel vom Radius r gehöriger Kugelabschnitt sein, damit er den gleichen Rauminhalt besitzt?

Question

Aufgabe:

Gezeigt wird ein Zylinder mit dem Radius r und der Höhe h, aus dem ein Kegel herausgeschnitten ist.

a) Geben Sie den Rauminhalt des "Restkörpers" an.

b) Die Höhe h betrage nunmehr gerade r. Wie hoch muss ein zu einer Kugel vom Radius r gehöriger Kugelabschnitt sein, damit er den gleichen Rauminhalt besitzt?

Problem/Ansatz:

Also Aufgabe a) hab ich soweit gelöst und hab 2/3*pi*r²*h rausbekommen

Bei Aufgabe b) weiß ich, dass ich die Formel vom Restkörper von Aufgabe a) mit der Formel vom Kugelabschnitt gleichsetzen muss also bin ich bei 1/3*pi*h²*(3*r-h)= 2/3*pi*r³

Aber hier komme ich jetzt nicht weiter. Ich weiß nur dass ich nach h auflösen muss. Aber damit habe ich Probleme.

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen

Comments

vgl:

https://www.mathe-online.at/mathint/anwdiff/i_ExtrAufg.html

Answer 1

Geometrie ist weniger meine Stärke, dafür aber Algebra. Ich führe die Rechnungen daher unter der Annahme durch, dass deine aufgestellte Gleichung richtig ist.

Die Gleichung

$\frac{1}{3} \pi h^2 (3r - h) = \frac{2}{3}\pi r^3$

können wir durch Ausmultiplizieren und wegstreichen der $\pi$ zu einer kubischen Gleichung mit Variable $h$ vereinfachen:

$h^3 - 3rh^2 + 2r^3 = 0$ (GL.1)

Eine kubische Gleichung hat, weil $deg(h^3 - 3rh^2 + 2r^3) = 3$ , immer drei komplexe Lösungen. (Fundamentalsatz der Algebra)

Durch Ausprobieren finden wir heraus, dass $h = r$ eine Lösung ist, denn:

$h^3 - 3h^3 + 2h^3 = 3h^3 - 3h^3 = 0 \implies h_1 = r$.

Anwenden der Polynomdivision liefert uns:

$\frac{(h^3 - 3rh^2 + 2r^3)}{(h - r)} = h^2 - 2rh - 2r^2 \iff h^3 - 3rh^2 + 2r^3 = (h^2 - 2rh - 2r^2)(h - r)$.

Damit können wir nun (GL. 1) vereinfachen zu

$(h^2 - 2rh - 2r^2)(h - r) = 0$.

Die Lösung vom zweiten Faktor haben wir eben ausgerechnet. Bleibt noch die Lösungen vom ersten Faktor zu bestimmen, die wir durch die P-Q-Formel erhalten:

$h^2 - 2rh - 2r^2 = 0 \iff h_{2,3} = r \ \pm \ \sqrt{r^2 + 2r^2} = r \ \pm \sqrt{3r^2} = r \pm \ r \sqrt{3}$

Dies liefert uns also die Lösungen $h_2 = r(1+\sqrt{3})$ und $h_3 = r(1-\sqrt{3})$.

Zusammengefasst:

$\frac{1}{3} \pi h^2 (3r - h) = \frac{2}{3}\pi r^3 \iff h \in \{ r, \ r(1+\sqrt{3}), \ r(1-\sqrt{3})\}$.

Lg

Comments

Vielen vielen Dank :)

Answer 2

Eine Kugel hat das Volumen $\frac{4}{3}\pi r^3$.

Ein Kugelabschnitt mit Volumen $\frac{2}{3}\pi r^3$ und Radius $r$ ist deshalb eine Halbkugel.

Comments

Vielen Dank aber in der ersten Zeile bei (3rh) passt die Gleichung nicht da es heißen soll (3*r - h)

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Die 3 im Nenner ist nicht richtig.

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bei (3rh) passt die Gleichung nicht da es heißen soll (3*r - h)

Ist repariert.

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Der Kugelabschnitt hat aber das Volumen 1/3*pi*h²-(3*r-h)

Und der Rauminhalt des "Restkörpers" von Aufgabe a) ist 2/3*pi*r²*h

Und da bei Aufgabe b) h=r beim Restkörper sein soll und man gleichsetzen soll lautet es dann

1/3*pi*h²-(3*r-h) = 2/3*pi*r²*h

=> 1/3*pi*h²-(3*r-h) = 2/3*pi*r²*r

=> 1/3*pi*h²-(3*r-h) = 2/3*pi*r³

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Der Kugelabschnitt hat aber das Volumen 1/3*pi*h²-(3*r-h)

Jetzt übertreibst du mit den Minuszeichen aber ein wenig :-)

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Oh ein Tippfehler. Natürlich soll vor jeder Klammer ein Mal-Zeichen stehen statt Minus :)