ist mein Beweis zu folgender Aufgabe korrekt?
$$\text{ Gibt es eine (2,2)-Matrix A, so dass} $$
$$A \cdot
\begin{bmatrix}
a & b\\
c & d
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
b & d\\
a & c
\end{bmatrix}$$
$$\text{ für alle } a,b,c,d \in \mathbb{R} \text{ gilt? Begründen Sie ihre Entscheidung! }$$
So, ich habe das erstmal ausmultipliziert:
$$
\begin{bmatrix}
x_1 & x_2 \\
x_3 & x_4
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
a & b\\
c & d
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} x_1 \cdot a + x_2 \cdot c & x_1 \cdot b + x_2 \cdot d\\ x_3 \cdot a + x_4 \cdot c & x_3 \cdot b + x_4 \cdot d \end{bmatrix}
$$
Für mich stellt sich jetzt das lineare Gleichungssystem
$$x_1 a + x_2 c = b$$
$$x_1 b + x_2 d = d$$
$$x_3 a + x_4 c = a$$
$$x_3 b + x_4 d = c$$
zur Lösung.
Also als erweiterte Koeffizientenmatrix:
$$\begin{bmatrix}
a & c& 0& 0& b\\
b & d& 0& 0& d\\
0 & 0& a& c& a\\
0 & 0& b& d& c
\end{bmatrix}$$, wobei die rechteste Spalte die Lösungen angeben.
Um b auf 0 zu kriegen, müsste man ja auf jeden Fall die 1. Zeile * (b/a) von der 2. Zeile abziehen. Damit darf a nicht 0 sein! Und damit gilt die Aussage nicht für alle a,b,c,d aus R.
Stimmt das?
Danke,
Thilo
