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Gegeben sei ein lineares System in der Blockform
              ( A1   B )       *   (x,y)^t    =   (b1,b2)^t           => soll eine Matrix sein
              ( B     A2 )             



mit A1,A2,B ∈ R^(n×n) und x,y,b1,b2 ∈ R^(n). Betrachten Sie die folgenden iterativen Methoden,
bestimmt durch die Vorschriften:
(i) A1*x^(k+1) + B*y^(k) = b1, B*x^(k) + A2*y^(k+1) = b2,
(ii) A1*x^(k+1) + B*y^(k) = b1, B*x^(k+1) + A2*y^(k) = b2.


(a) Schreiben Sie für beide Methoden den Iterationsschritt in der Form                

(x^(k+1) , y^(k+1))^t =  M * (x^(k) ,y^(k))^t + b


für eine geeignete Matrix M ∈R^(2n×2n) und einen geeigneten Vektor b ∈R^2n und bestim-
men Sie jeweils die notwendigen Eigenschaften von A1,A2 und B, so dass er durchführbar
ist.
(b) Zeigen Sie, dass der Fixpunkt (x(∞),y(∞))^t der Iterationsvorschrift (falls vorhanden)
jeweils eine Lösung des Gleichungssystem ist.

(c) Finden Sie für jede Methode hinreichende Bedingungen an die Spektralradien der invol-
vierten Matrizen für die Konvergenz

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Bei (ii) wird y nicht verändert??

Nein, bei (ii) wird y nicht verändert.

Für (i) sehe ich die Vorschrift so:

$$\begin{pmatrix} x_{k+1} \\ y_{k+1} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -A_1^{-1}B \\ -A_2^{-1}B & 0 \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} x_k \\y_k \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}A_1^{-1}b_1 \\ A_2^{-1}b_2\end{pmatrix}$$

(ii) halte ich für falsch.

Gruß Mathhilf

Vielen Dank!

Und zur Info, du hast Recht, (ii) ist falsch, ich habe dem Prof geschrieben, er hat die Aufgabe aktualisiert.

(ii) lautet jetzt

(ii) A1*x^(k+1) + B*y^(k) = b1, B*x^(k+1) + A2*y^(k+1) = b2

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