Lineare Abbildung Kern und Bild berechnen

Question

Aufgabe:Kern und Bild einer linearen Abbildung berechnen

Problem/Ansatz:Gegeben Abbildung von R4  nach R5  mit $$ \begin{pmatrix} x1\\x2\\x3\\x4 \end{pmatrix} $$

wird abgebildet auf $$  \begin{pmatrix} 0\\x1 + x2\\x4 - x3\\ x3 - x4\\ 0 \end{pmatrix}  $$

die Musterlösung sagt Kern =  $$  x1 \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \\0 \end{pmatrix} $$   $$  x3 \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \\1\end{pmatrix}  $$

Mein Ansatz war Abbildungsmatrix mit $$  \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\  0 & 0 & 1 & -1    \end{pmatrix} $$ diese 0 setzen und dann lösen ich komme da auf $$ \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \\0 \end{pmatrix} $$

und $$ \begin{pmatrix} 0 \\0 \\-1 \\-1  \end{pmatrix} $$

mit x2 und x4 frei , als Kern, wo ist mein Fehler ?

Answer 1

Aloha :)

Du hast die oberste und unterste Zeile der Abbildungsmatrix weggelassen. Das ist für die Berechnung des Kerns nicht schlimm, weil sie nur Nullen enthalten. Ansonsten ist dein Ergebnis richtig, der Kern ist 2-dimensional und die beiden von dir genannten Vektoren bilden eine Basis des Kerns.

Lass dich nicht davon irritieren, wenn die Vorzeichen in einer Musterlösung anders sind oder die Vektoren sonst irgendwie skaliert sind, eine Basis ist nicht eindeutig.

Comments

Danke, ich war schon irritiert