Beweisen dass, eine lineare Abbildung ϕ : R5→ R5 dim(Kern(ϕ)) = dim(Bild(ϕ))

Question

Beweisen dass, eine lineare Abbildung ϕ : R⁵→ R⁵

mit dim(Kern(ϕ)) = dim(Bild(ϕ))

Answer 1

... nicht existieren kann.

Das geht ganz einfach mit dem Rangsatz, der besagt, dass

$$ 5= \dim \mathbb{R}^5 = \dim \ker \Phi + \dim \mathrm{im} \Phi $$

Also sind die Möglichkeiten für die Summe 0+5, 1+4, 2+3, 3+2, 4+1, 5+0. Wie du siehst gibt es keine bei der beide Summanden gleich sind.