Aloha :)
Wegen \((x_1-x_2=0)\) bzw. \((x_1=x_2)\) lauten alle Vektoren des Kerns:$$\vec x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\x_1\\x_3\end{pmatrix}=x_1\red{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}+x_3\red{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$$Die roten Vektoren bilden eine Basis des Kerns.
Wegen \((x_1=0)\) lauten alle Bilder der Abbildung:$$\vec x=\binom{x_1}{x_2}=\binom{0}{x_2}=x_2\green{\binom{0}{1}}$$Der grüne Vektor ist eine Basis des Bildes.
Die beiden roten Kern-Basisvektoren werden auf den Nullvektor abgebildet. Ein Vektor, der nicht zum Kern gehört, wie etwa \((1;0;0)^T\), wird auf ein Vielfaches des grünen Basisvektors abgebildet. Das Bedeutet für die gesuchte Abbildungsmatrix \(A\):$$A\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=\binom{0}{0}\quad;\quad A\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\pink{\binom{0}{0}}\quad;\quad A\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=c\cdot\binom{0}{1}=\pink{\binom{0}{c}}\;;\;c\ne0$$
Wegen der Linearität der Abbildung können wir daraus folgern:$$A\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=A\left(\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right)=A\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}-A\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\binom{0}{0}-\binom{0}{c}=\pink{\binom{0}{-c}}$$
Die pinken Vektoren sind die Bilder der kanonischen Basisvektoren. Sie als Spaltenvektoren bilden die gesuchte Abbildungsmatrix:$$A=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\c & -c & 0\end{pmatrix}\quad;\quad c\ne0$$
Bis auf eine Konstante \(c\ne0\) ist die Abbildung eindeutig bestimmt. Du sollst nur eine lineare Abbildung mit dem angegebenen Kern und Bild bestimmern, daher wähle einfach \((c=1)\).
