\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{k ! }{2^{k}}

Question

Aufgabe:

\(\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{k ! }{2^{k}} \)

  \(\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k ! }{2^{k}} \)
Problem/Ansatz:

Answer 1

Quotientenkriterium anwenden!

Die Summe divergiert. k! wächst schneller als 2^k.

Answer 2

Aloha :)

Zur Untersuchung der Konvergenz der Summe$$S\coloneqq\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{k!}{2^k}=\sum\limits_{k=0}^\infty a_k\quad;\quad a_k\coloneqq\frac{k!}{2^k}$$verwenden wir das Quotientenkriterium:

$$\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\left|\frac{\frac{(k+1)!}{2^{k+1}}}{\frac{k!}{2^k}}\right|=\frac{(k+1)!}{2^{k+1}}\cdot\frac{2^k}{k!}=\frac{\cancel{k!}\cdot(k+1)}{2\cdot\cancel{2^{k}}}\cdot\frac{\cancel{2^k}}{\cancel{k!}}=\frac{k+1}2\stackrel{(k\to\infty)}{\to}\infty$$Die Reihe divergiert.