Aloha :)
Zu der gegebenen Funktion$$f(x)=(6+12x-2x^2)\cdot e^{-\frac x2}$$sollen wir zeigen, dass$$F(x)=(4x^2-8x-28)\cdot e^{-\frac x2}$$eine Stammfunktion ist.
Da die Funktion \(f(x)\) etwas aufwendig zu integrieren ist, zeigen wir stattdessen, dass die Ableitung der Stammfunktion \(F(x)\) gleich der Funktion \(f(x)\) ist. Nach dem ersten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist dann auch gezeigt, dass \(F(x)\) eine Stammfunktion von \(f(x)\) ist.
$$F'(x)=\left(\underbrace{(4x^2-8x-28)}_{=u}\cdot\underbrace{e^{-\frac x2}}_{=v}\right)'=\underbrace{(8x-8)}_{=u'}\cdot\underbrace{e^{-\frac x2}}_{=v}+\underbrace{(4x^2-8x-28)}_{=u}\cdot\underbrace{\left(-\frac12\right)e^{-\frac x2}}_{=v'}$$$$\phantom{F'(x)}=(8x-8)\cdot e^{-\frac x2}+(-2x^2+4x+14)\cdot e^{-\frac x2}=(8x-8-2x^2+4x+14)\cdot e^{-\frac x2}$$$$\phantom{F'(x)}=(12x+6-2x^2)\cdot e^{-\frac x2}=f(x)\quad\checkmark$$
Der gesuchte Flächeninhalt \(A\) ist nun:$$A=\int\limits_0^4f(x)dx=F(4)-F(0)$$$$\phantom{A}=(4\cdot4^2-8\cdot4-28)\cdot e^{-\frac 42}-(4\cdot0^2-8\cdot0-28)\cdot e^{-\frac02}=4e^{-2}+28$$$$\phantom{A}\approx28,541341\ldots$$
