Bestimmen Sie den Flächeninhalt.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x) = (6+12x-2x²)*e^-0,5x

1.) Der Graph von f, die Koordinatenachsen und die senkrechte Gerade x = 4 bilden den Rand eines Raubtiergeheges, 1 LE = 10m. Bestimmen Sie den Flächeninhalt. Zeigen Sie zunächst, dass F(x) = (4x²-8x-28)*e^-0,5x eine Stammfunktion von f ist.

Frage:

Ist mein Ergebnis zum Flächeninhalt richtig? Würde auf rund 5,41m²  kommen.

Answer 1

Ist mein Ergebnis zum Flächeninhalt richtig? Würde auf rund 5,41m² kommen.

Ich komme eher auf ca. 28,5

Comments

Ich komme eher auf ca. 28,5

.........

1 LE = 10m.

---

Danke...  28,5 LE² dann, nicht m²

Answer 2

Nimm die Stammfunktion und berechne

$F(4) - F(0)$

Answer 3

Aloha :)

Zu der gegebenen Funktion$$f(x)=(6+12x-2x^2)\cdot e^{-\frac x2}$$sollen wir zeigen, dass$$F(x)=(4x^2-8x-28)\cdot e^{-\frac x2}$$eine Stammfunktion ist.

Da die Funktion $f(x)$ etwas aufwendig zu integrieren ist, zeigen wir stattdessen, dass die Ableitung der Stammfunktion $F(x)$ gleich der Funktion $f(x)$ ist. Nach dem ersten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist dann auch gezeigt, dass $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$ ist.

$$F'(x)=\left(\underbrace{(4x^2-8x-28)}_{=u}\cdot\underbrace{e^{-\frac x2}}_{=v}\right)'=\underbrace{(8x-8)}_{=u'}\cdot\underbrace{e^{-\frac x2}}_{=v}+\underbrace{(4x^2-8x-28)}_{=u}\cdot\underbrace{\left(-\frac12\right)e^{-\frac x2}}_{=v'}$$$$\phantom{F'(x)}=(8x-8)\cdot e^{-\frac x2}+(-2x^2+4x+14)\cdot e^{-\frac x2}=(8x-8-2x^2+4x+14)\cdot e^{-\frac x2}$$$$\phantom{F'(x)}=(12x+6-2x^2)\cdot e^{-\frac x2}=f(x)\quad\checkmark$$

Der gesuchte Flächeninhalt $A$ ist nun:$$A=\int\limits_0^4f(x)dx=F(4)-F(0)$$$$\phantom{A}=(4\cdot4^2-8\cdot4-28)\cdot e^{-\frac 42}-(4\cdot0^2-8\cdot0-28)\cdot e^{-\frac02}=4e^{-2}+28$$$$\phantom{A}\approx28,541341\ldots$$