Aloha :)
Zu der gegebenen Funktionf(x)=(6+12x−2x2)⋅e−2xsollen wir zeigen, dassF(x)=(4x2−8x−28)⋅e−2xeine Stammfunktion ist.
Da die Funktion f(x) etwas aufwendig zu integrieren ist, zeigen wir stattdessen, dass die Ableitung der Stammfunktion F(x) gleich der Funktion f(x) ist. Nach dem ersten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist dann auch gezeigt, dass F(x) eine Stammfunktion von f(x) ist.
F′(x)=(=u(4x2−8x−28)⋅=ve−2x)′==u′(8x−8)⋅=ve−2x+=u(4x2−8x−28)⋅=v′(−21)e−2xF′(x)=(8x−8)⋅e−2x+(−2x2+4x+14)⋅e−2x=(8x−8−2x2+4x+14)⋅e−2xF′(x)=(12x+6−2x2)⋅e−2x=f(x)✓
Der gesuchte Flächeninhalt A ist nun:A=0∫4f(x)dx=F(4)−F(0)A=(4⋅42−8⋅4−28)⋅e−24−(4⋅02−8⋅0−28)⋅e−20=4e−2+28A≈28,541341…