Was benötige ich zur Erstellung einer Matrix V sodass V^{-1}AV Diagonalgestalt besitzt?

Question

Meine Aufgabe ist zu folgender Matrix Die Eigenwerte zu finden und eine matrix V zu bestimmen, sodass V^-1AV Diagonalgestallt besitzt.

\( A=\left(\begin{array}{cc}2 i & i \\ \sqrt{3} & 0\end{array}\right) \)

Die EW habe ich herausgefunden

\( \lambda_{I, 2}=i \pm \sqrt{\sqrt{3} i-1} \)

Wie kann ich jetzt diese matrix V bestimmen, sodass V^{-1}AV Diagonalgestalt hat?

Comments

Du musst nun, die zu λ_1,2 passenden Eigenvektoren berechnen. und diese als Splaten der Matrix V schreiben. also V =(vec₁  vec₂)

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das hatte ich befürchtet...

ich weiß nicht wie ich die eigenvektoren bilden soll..

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Effektiv: (A-λE)x=0 wobei x≠0 der Eigenvektor ist und E die Einheitsmatrix.

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Am einfachsten ist es x=(x1,x2) zu schreiben und die Matrix  (A-λE) auf den Vektor (x1,x2) los lassen. x1 und x2 bestimmen und man hat den einen Eigenvektor. Das gleiche Spielchen mit dem zweiten Eigenwert wiederholen.

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Ich weiß leider nicht wie die Eigenvektoren zu bestimmen sind, da das gleichungssystem für mich unlösbar scheint.. bekommst du das hin? Mich machen die komplexen zahlen einfach nur verrückt...

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\( \left(\begin{array}{cc}i+\sqrt{\sqrt{3}} i-1 & i \\ \sqrt{3} & -i+\sqrt{\sqrt{3}} i-1\end{array}\right) \)

Wie soll diese GLS zu lösen sein?

Answer 1

Es würde die Sache deutlich einfacher machen auch richtige komplexe zahlen zu verwenden. Die Wurzel aus einer komplexen zahl ist nicht eindeutig definiert.

Da $$|\sqrt{3} i -1 |=2$$ ist $$ \sqrt{3} i -1 =2 \cdot e^{\frac{2 \pi i}{3}}$$ und damit sind die beiden Wurzeln daraus: $$ \sqrt{2} e^{\frac{2\pi i}{6}} \text{ und } \sqrt{2}e^{\frac{5\pi i}{6}} $$

Und LGS löst man mit dem Gaußverfahren.