Aloha :)
Die Zuflussgeschwindigekit des Wassers zum Zeitpunkt \(t\) ist uns gegeben.$$f(t)=5t-t^2\quad;\quad t\in[0;5]$$Geschwindigkeit ist hier Wassermenge pro Zeiteinheit. Wenn wir also die Funktion \(f(t)\) mit einem kleinen Zeitintervall \(dt\) multiplizieren, erhalten wir die Wassermenge \(dW\), die während dieses kurzen Zeitintervalls von \(t\) bis \((t+dt)\) hinzugekommen ist.$$dW=f(t)\cdot dt$$Je kleiner wir das Zeitintervall \(dt\) wählen, desto besser beschreibt der Funktionswert \(f(t)\) zum Zeitpunkt \(t\) die Zuflussgeschwindigkeit für alle Zeitpunkte im Intervall \(t\) bis \((t+dt)\).
Mit Hilfe der Integralrechnung können wir für unendlich kleine Zeitintervalle \(dt\) die jeweiligen Wassermengen addieren. Insgesamt fließt im Zeitintervall von \(t=0\) bis \(t=T\) die folgende Wassermenge ein:$$W(T)=\int\limits_0^TdW=\int\limits_0^Tf(t)\,dt=\int\limits_0^T\left(5t-t^2\right)dt$$
Integrieren ist im Prinzip das Gegenteil vom Ableiten. Beim Ableiten einer Potenz \(x^n\) multiplizierst du mit dem Exponenten \(n\) und verminderst den Exponenten danach um \(1\). Beim Integrieren musst du das wieder umkehren, also zuerst den Exponenten um \(1\) erhöhen und danach durch den neuen Exponenten dividieren.$$W(T)=\left[5\,\frac{t^2}{2}-\frac{t^3}{3}\right]_{t=0}^T=\frac52T^2-\frac{T^3}3\quad;\quad T\in[0;5]$$Die Gesamtzeit \(T\) kann man nur sinnvoll bis zu \(5\) Stunden ansetzen, weil danach über die Zuflussgeschwindigkeit \(f(t)\) nichts weiter bekannt ist.
Speziell nach \(4\) Stunden sind$$W(4)=\frac52\cdot16-\frac{64}{3}\approx18,67$$Volumeneinheiten Wasser ins Becken geflossen.
