Wie lautet die Funktionsgleichung mit der man die Wassermenge darstellen kann, die in der Zeitspanne von 0 bis 5 …

Question

Aufgabe:

Hallo,

die Zuflussgeschwindigkeit von Wasser in ein Becken wird durch die Funktion f(t)=5t-t² in der Zeit von t=0 bis t=5 modelliert.

Wie lautet die Funktionsgleichung mit der man die Wassermenge darstellen kann, die in der Zeitspanne von 0 bis 5 zugeflossen ist?

Und welche Wassermenge ist in den ersten 4 Stunden zugeflossen ?

Bitte Tipps und Ansätze

Problem/Ansatz:

Ich habe keine Ansätze

Answer 1

Aloha :)

Die Zuflussgeschwindigekit des Wassers zum Zeitpunkt $t$ ist uns gegeben.$$f(t)=5t-t^2\quad;\quad t\in[0;5]$$Geschwindigkeit ist hier Wassermenge pro Zeiteinheit. Wenn wir also die Funktion $f(t)$ mit einem kleinen Zeitintervall $dt$ multiplizieren, erhalten wir die Wassermenge $dW$, die während dieses kurzen Zeitintervalls von $t$ bis $(t+dt)$ hinzugekommen ist.$$dW=f(t)\cdot dt$$Je kleiner wir das Zeitintervall $dt$ wählen, desto besser beschreibt der Funktionswert $f(t)$ zum Zeitpunkt $t$ die Zuflussgeschwindigkeit für alle Zeitpunkte im Intervall $t$ bis $(t+dt)$.

Mit Hilfe der Integralrechnung können wir für unendlich kleine Zeitintervalle $dt$ die jeweiligen Wassermengen addieren. Insgesamt fließt im Zeitintervall von $t=0$ bis $t=T$ die folgende Wassermenge ein:$$W(T)=\int\limits_0^TdW=\int\limits_0^Tf(t)\,dt=\int\limits_0^T\left(5t-t^2\right)dt$$

Integrieren ist im Prinzip das Gegenteil vom Ableiten. Beim Ableiten einer Potenz $x^n$ multiplizierst du mit dem Exponenten $n$ und verminderst den Exponenten danach um $1$. Beim Integrieren musst du das wieder umkehren, also zuerst den Exponenten um $1$ erhöhen und danach durch den neuen Exponenten dividieren.$$W(T)=\left[5\,\frac{t^2}{2}-\frac{t^3}{3}\right]_{t=0}^T=\frac52T^2-\frac{T^3}3\quad;\quad T\in[0;5]$$Die Gesamtzeit $T$ kann man nur sinnvoll bis zu $5$ Stunden ansetzen, weil danach über die Zuflussgeschwindigkeit $f(t)$ nichts weiter bekannt ist.

Speziell nach $4$ Stunden sind$$W(4)=\frac52\cdot16-\frac{64}{3}\approx18,67$$Volumeneinheiten Wasser ins Becken geflossen.

Answer 2

Integriere die Funktion f(t), zur Beantwortung der zweiten Frage von 0 bis 4.

Comments

Und wie mache ich das ?

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Kennst Du Integrale? Wenn ja, so wie Ihr es gelernt habt, wenn nein, wieso kriegst Du dann so eine Aufgabe?

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Wir haben es erst angefangen und es ist nicht so leicht…

Könnten Sie mir denn einen Ansatz geben?

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So schaut das zufliessende (blau) und das zugeflossene (rot) Wasser aus:

Dass Integral (hier rot) einer Funktion (blau) muss so sein, dass dessen Ableitung wieder die Funktion ergibt.

Answer 3

$f(t)=5 t-t^{2}$
Unbestimmtes Integral:
$F(t)=\int\left(5 t-t^{2}\right) \cdot d t=\left[\frac{5}{2} t^{2}-\frac{1}{3} t^{3}\right]+C$
"Und welche Wassermenge ist in den ersten 4 Stunden zugeflossen ?"
$F(t)=\int \limits_{0}^{4}\left(5 t-t^{2}\right) \cdot d t=\left[\frac{5}{2} t^{2}-\frac{1}{3} t^{3}\right]_{0}^{4}=\left[\frac{5}{2} \cdot 4^{2}-\frac{1}{3} \cdot 4^{3}\right]-\left[\frac{5}{2} \cdot 0-\frac{1}{3} \cdot 0^{3}\right]=\frac{56}{3}$

Comments

Es braucht hier zur Beantwortung der gestellten Frage kein +C.