bestimme einer Parametergleichung der Ebene E: 2x1 - x2 = 25

Question

Aufgabe:

bestimme einer Parametergleichung der Ebene E: 2x₁ - x₂ = 25

Problem/Ansatz:

Hier ist x3 nicht gegeben, deswegen bin ich mir unsicher, wie ich hier die Parametergleichung aufstelle.

Answer 1

Aloha :)

Du kannst die Ebenengleichung nach \(x_2\) umstellen$$x_2=2x_1-25$$und dann die Ebenengleichung sofort hinschreiben:

$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\2x_1-25\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-25\\0\end{pmatrix}+x_1\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$$Wenn du möchtest, kannst du \(x_1\) und \(x_2\) auch noch in \(s\) und \(t\) umbenennen, aber das würde die Information vernichten, dass die Parameter vor den beiden Richtungsvektoren exakt der \(x_1\)- bzw. der \(x_3\)-Kooridnate entsprechen.

Answer 2

Suche dir drei beliebige Punkte der Ebene, die nicht auf einer Geraden liegen.

Naheliegende einfache Möglichkeiten sind (0|-25|0), (13|1|0) und (0|-25|1)

Da die ersten beiden Punkte die z-Koordinate 0 haben, müssen alle Punkte auf der Geraden durch beide Punkte ebenfalls die z-Koordinate 0 besitzen. Somit ist garantiert, dass mein dritter Punkt nicht mit den beiden anderen auf einer Geraden liegt. Die Ebenengleichung erfüllt mein dritter Punkt auch.