Extremalwertaufgabe. Wie viel Quadratmeter hat der Hase dann Platz?

Question

In einem Garten soll 16 m maschendraht ein platz für einen stallhasen eingezäunt werden.die flache soll möglichst groß werden. Wie viel Quadratmeter hat der Hase dann platz?

Answer 1

Bei gegebenem Umfang hat unter allen Rechtecken das Quadrat den größten Flächeninhalt.

Ein quadratischer Platz mit dem Umfang 16 m hätte eine Seitenlänge von 16 / 4 = 4 m und somit also einen Flächeninhalt von A = 4 * 4 = 16 m ²

Wenn allerdings kein Rechteck sondern irgendeine beliebige Fläche abgezäunt werden soll, dann sollte man zum Kreis greifen. Denn unter allen ebenen Figuren mit gegebenem Umfang hat ein Kreis den größten Flächeninhalt.

Bei einem Umfang U von 16 m hätte ein Kreis den Radius

r = U / ( 2 π ) = 16 / ( 2 π )

und somit einen Flächeninhalt A von

A = π * r ²

= π * ( 16 / ( 2 π ) ) ²

= π * 256 / ( 4 π ² )

= 256 / ( 4 π  )

= 20,37 m ²