Nachweis der Eigenvektoren u und v

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Matrix M

0	-1	1
-3	-2	3
-2	-2	3

Nun soll nachgewiesen werden, dass u (1/1/2) und v(1/3/2) Eigenvektoren von M sind
Problem/Ansatz:

Answer 1

Aloha :)

Da hier die Eigenvektoren \(\vec u\) und \(\vec v\) bereits bekannt sind, reicht es, die Eigenwertgleichung \(\mathbf M\cdot\vec v=\lambda\cdot\vec v\) zu prüfen:

$$\left(\begin{array}{rrr}0 & -1 & 1\\-3 & -2 & 3\\-2 & -2 & 3\end{array}\right)\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}=1\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$$$$\left(\begin{array}{rrr}0 & -1 & 1\\-3 & -2 & 3\\-2 & -2 & 3\end{array}\right)\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-3\\-2\end{pmatrix}=(-1)\cdot\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}$$Wir erkennen die Eigenwerte \(\lambda_u=1\) für \(\vec u\) und \(\lambda_v=(-1)\) für \(\vec v\).