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Monotonie bei Zahlenfolgen
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es geht um folgende Zahlenfolge:
n/n+1
WIe genau kann ich nun die Monotonie begründen?
Ich habe bereits so angefangen:
n+1/n+2 - n/n+1
Doch wie kann ich diese noch weiter berechnen?
Ich habe es mal ausprobiert indem ich die Nenner jeweils multipliziere
Am ende habe ich:
4n + 2 / (n+1)(n+2) Doch wie muss ich nun weiter machen? Mich speziell stört der Bruch, da ich so noch nicht gerechnet hatte.
Ich hoffe man kann mir helfen :)
zahlenfolge
monotonie
Gefragt
27 Jan 2014
von
Timori
📘 Siehe "Zahlenfolge" im Wiki
1
Antwort
+
+1
Daumen
Beste Antwort
$$\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}=\frac{n+1}{n+2}\cdot\frac{n+1}{n+1}-\frac{n}{n+1}\cdot\frac{n+2}{n+2}$$$$=\frac{(n+1)^2-n\cdot(n+2)}{(n+1)\cdot(n+2)}=\frac{1}{(n+1)\cdot(n+2)}>0.$$
Beantwortet
27 Jan 2014
von
Gast
Aber wie kann ich hiermit die Monotonie wiedergeben? was sagt mir das > 0 ?
Ich habe mal deine 1. Gleichung in der 2. Zeile mit den Nenner sachen gekürzt
Am Ende habe ich dann eine Gleichung ohne Bruch:
n² - n
Kann ich damit weiter machen?
Damit ist gezeigt, dass die Folge monoton steigend ist. Es ist$$a_n=\frac{n}{n+1}\text{ und }a_{n+1}=\frac{n+1}{n+2}.$$Wie oben gezeigt, gilt \(a_{n+1}-a_n>0\), woraus folgt, dass \(a_{n+1}>a_n\) ist.
Ein anderes Problem?
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