Aloha :)
Bei dieser Rechnung müssen wir ein paar Mal quadrieren. Das Problem dabei ist, dass man das Quadrieren nicht mehr eindeutig rückgängig machen kann. Zum Beispiel weiß man beim Ergebnis \(4\) nicht, ob es vor dem Quadrieren \((-2)\) oder \((+2)\) war. Daher gehen die Folgerungen immer nur in eine Richtung und wir müssen am Ende die Ergebnisse nochmal prüfen, indem wir sie in die Gleichung einsetzen.
$$\phantom{\implies}\left.\underbrace{\sqrt{x+4}}_{=a}-\underbrace{\sqrt{x+11}}_{=b}=\underbrace{\sqrt{x-4}}_{=c}-\underbrace{\sqrt{x-1}}_{=d}\quad\right|\text{quadrieren}$$$$\implies\left.\underbrace{x+4}_{=a^2}-\underbrace{2\sqrt{(x+4)(x+11)}}_{=2ab}+\underbrace{x+11}_{=b^2}=\underbrace{x-4}_{=c^2}-\underbrace{2\sqrt{(x-4)(x-1)}}_{=2cd}+\underbrace{x-1}_{=d^2}\quad\right.$$$$\implies\left.2x+15-2\sqrt{(x+4)(x+11)}=2x-5-2\sqrt{(x-4)(x-1)}\quad\right|-2x+5$$$$\implies\left.\underbrace{20}_{=e}-\underbrace{2\sqrt{x^2+15x+44}}_{=f}=-2\sqrt{x^2-5x+4}\quad\right|\text{quadrieren}$$$$\implies\left.\underbrace{400}_{=e^2}-\underbrace{80\sqrt{x^2+15x+44}}_{=2ef}+\underbrace{4(x^2+15x+44)}_{=f^2}=4(x^2-5x+4)\quad\right.$$$$\implies\left.4x^2+60x+576-80\sqrt{x^2+15x+44}=4x^2-20x+16\quad\right|-4x^2+20x-16$$$$\implies\left.80x+560-80\sqrt{x^2+15x+44}=0\quad\right|\colon80$$$$\implies\left.x+7-\sqrt{x^2+15x+44}=0\quad\right|+\sqrt{x^2+15x+44}$$$$\implies\left.x+7=\sqrt{x^2+15x+44}\quad\right|\text{quadrieren}$$$$\implies\left.x^2+14x+49=x^2+15x+44\quad\right|-x^2-14x-44$$$$\implies x=5$$
Da durch das Quadrieren die Rückrichtung nicht automatisch gilt, prüfen wir unser Ergebnis durch Einsetzen in die Originalgleichung:$$\sqrt{5+4}-\sqrt{5+11}=\sqrt{5-4}-\sqrt{5-1}\quad\Longleftrightarrow\quad3-4=1-2\quad\Longleftrightarrow\quad-1=-1\quad\checkmark$$
