Die Pi-te Wurzel im Komplexen Zahlenraum

Question

Das Wurzel ziehen bei Komplexen Zahlen generell so ab, dass eine oder mehrere Zahlen z, die gleichung zⁿ = a + bi erfüllen.

Man findet diese Zahlen indem man die rechte Seite in die Polarform umwandelt, und Potenzgesetze anwendet. Dabei liefern oft Polarformen mit verschiedenen Winkeln richtige Ergebnisse:

Hier, da die Winkel ja addiert werden, könnte man z.B so vorgehen

z³ = i

i würde einem Winkel von 90° entsprechen.

Der Winkel W der Zahl z muss also erfüllen:

3*W = 90° + 360°*k mit k element von N

Anders gesagt W = 30 + 120*k

Hier wiederholen sich die Winkel dann nach k = 3

Aber z.b bei der Pi-ten wurzel würden sie sich doch nie wiederholen, denn 360*k/Pi wird nie zu einem vielfachen von 360. Gibt es dann unendlich viele z, die die Gleichung erfüllen?

Anzumerken gilt: Auch bei Zahlen wie 1.5 sind 10° und 370° nicht identisch sondern führen zu einem anderen Ergebnis, eben wegen der Multiplikation mit 0.5 (Bei ganzen Zahlen kommt immer ein vielfaches der 360° dazu, also quasi "nichts", bei Reelen Zahlen könnte aber auch z.b 180° dazukommen und die Potenz sich verändern) Dabei muss man auch bei Pi aufpassen.

Gibt es also unendlich viele z die die Gleichung z^pi = i erfüllen?

Answer 1

Aloha :)

Setze \(z\) in Polarform an, also \(z\coloneqq r\cdot e^{i\varphi}\), dann gilt mit \(n\in\mathbb Z\):

$$e^{i\left(\frac\pi2+2\pi n\right)}=i\stackrel!=z^\pi=\left(r\cdot e^{i\varphi}\right)^\pi=r^\pi\cdot e^{i\pi\varphi}$$Da die Beträge gleich sein müssen, muss \(r^\pi=1\) bzw. \(r=1\) gelten. Da auch die Argumente gleich sein müssen gilt weiter:$$\frac{\pi}2+2\pi n=\pi\varphi\quad\implies\quad\varphi=\frac12+2n$$Es gibt also tatsächlich unendlich viele$$z_n=e^{i\left(\frac12+2n\right)}\quad;\quad n\in\mathbb Z$$die die Gleichung \(z_n^\pi=i\) erfüllen. Von diesen sind aber nur \(3\) in der Gauß'schen Zahlenebene verschieden.

Comments

Hey, danke für deine Antwort erstmal!

Aber eine Frage hätte ich dann doch. Du meintest, nur 3 wären auf der Zahlenebene verschieden. Kannst du mir diese 3 nennen?

Ich kann das nämlich nicht so ganz nachvollziehen. Z.b ist ja mit 1/2 + 2n

Der erste Winkel 0.5

Der zweite Winkel 2.5

Der dritte Winkel 4.5

Der Dritte dann ja aber schon wahlweise 6.5 oder bzw 0.216... (6.5 - 2*pi), das wären doch schon 4 Zahlen auf der Ebene... Oder denke ich hier irgendwie falsch?

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Die 3 Leute sind:$$n=0\implies\varphi_0=0,5\in[0|6,28\ldots]$$$$n=1\implies\varphi_1=2,5\in[0|6,28\ldots]$$$$n=2\implies\varphi_2=4,5\in[0|6,28\ldots]$$

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Hallo denno345,
berechne doch einfach mal \([\exp(6.5i)]^{\pi}\) und \([\exp((6.5-2 \pi)i)]^{\pi}\)
Gruß Mathhilf

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Habe ich gemacht, bei 6.5i kommt wie gesagt i raus, bei 6.5 - 2pi nicht, war aber auch zu erwarten. Es muss bei 6.5 - 2pi auch nicht dasselbe rauskommen, ebenso muss bei (e^(i*0))^0.5 und bei (e^(i*2pi))^0.5 nicht dasselbe rauskommen.

Trotzdem löst die zahl e^(6.5 - 2pi) die gleichung z^pi = i. Man muss doch nur die "richtige" "pi-te" wurzel benutzen.

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Naja, von der Definition einer Rechenoperation würde ich schon erwarten:

$$z=w \Rightarrow z^p=w^p$$

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Da kann ich dir grundsätzlich nur zustimmen. Wir müssen nur definieren, uns "aussuchen" welche z.b Wurzel wir denn als das Ergebnis ansehen. Z.b

Bei 1^0.5 haben wir ja die Möglichkeit zwischen 1 und -1 zu wählen, denn beide ins Quadrat geben eben 1. Wir wählen hier die 1. Wir könnten nun aber auch für (e^(6.5 - 2pi))^pi einfach i als festen Wert festlegen. Daraus kann man wahrscheinlich keinen Nutzen ziehen, trotzdem wäre es doch möglich, oder nicht?