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Das Wurzel ziehen bei Komplexen Zahlen generell so ab, dass eine oder mehrere Zahlen z, die gleichung zn = a + bi erfüllen.

Man findet diese Zahlen indem man die rechte Seite in die Polarform umwandelt, und Potenzgesetze anwendet. Dabei liefern oft Polarformen mit verschiedenen Winkeln richtige Ergebnisse:

Hier, da die Winkel ja addiert werden, könnte man z.B so vorgehen

z3 = i

i würde einem Winkel von 90° entsprechen.

Der Winkel W der Zahl z muss also erfüllen:

3*W = 90° + 360°*k mit k element von N


Anders gesagt W = 30 + 120*k

Hier wiederholen sich die Winkel dann nach k = 3

Aber z.b bei der Pi-ten wurzel würden sie sich doch nie wiederholen, denn 360*k/Pi wird nie zu einem vielfachen von 360. Gibt es dann unendlich viele z, die die Gleichung erfüllen?

Anzumerken gilt: Auch bei Zahlen wie 1.5 sind 10° und 370° nicht identisch sondern führen zu einem anderen Ergebnis, eben wegen der Multiplikation mit 0.5 (Bei ganzen Zahlen kommt immer ein vielfaches der 360° dazu, also quasi "nichts", bei Reelen Zahlen könnte aber auch z.b 180° dazukommen und die Potenz sich verändern) Dabei muss man auch bei Pi aufpassen.

Gibt es also unendlich viele z die die Gleichung zpi = i erfüllen?

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Beste Antwort

Aloha :)

Setze zz in Polarform an, also zreiφz\coloneqq r\cdot e^{i\varphi}, dann gilt mit nZn\in\mathbb Z:

ei(π2+2πn)=i=!zπ=(reiφ)π=rπeiπφe^{i\left(\frac\pi2+2\pi n\right)}=i\stackrel!=z^\pi=\left(r\cdot e^{i\varphi}\right)^\pi=r^\pi\cdot e^{i\pi\varphi}Da die Beträge gleich sein müssen, muss rπ=1r^\pi=1 bzw. r=1r=1 gelten. Da auch die Argumente gleich sein müssen gilt weiter:π2+2πn=πφ    φ=12+2n\frac{\pi}2+2\pi n=\pi\varphi\quad\implies\quad\varphi=\frac12+2nEs gibt also tatsächlich unendlich vielezn=ei(12+2n);nZz_n=e^{i\left(\frac12+2n\right)}\quad;\quad n\in\mathbb Zdie die Gleichung znπ=iz_n^\pi=i erfüllen. Von diesen sind aber nur 33 in der Gauß'schen Zahlenebene verschieden.

Avatar von 153 k 🚀

Hey, danke für deine Antwort erstmal!

Aber eine Frage hätte ich dann doch. Du meintest, nur 3 wären auf der Zahlenebene verschieden. Kannst du mir diese 3 nennen?

Ich kann das nämlich nicht so ganz nachvollziehen. Z.b ist ja mit 1/2 + 2n

Der erste Winkel 0.5

Der zweite Winkel 2.5

Der dritte Winkel 4.5

Der Dritte dann ja aber schon wahlweise 6.5 oder bzw 0.216... (6.5 - 2*pi), das wären doch schon 4 Zahlen auf der Ebene... Oder denke ich hier irgendwie falsch?

Die 3 Leute sind:n=0    φ0=0,5[06,28]n=0\implies\varphi_0=0,5\in[0|6,28\ldots]n=1    φ1=2,5[06,28]n=1\implies\varphi_1=2,5\in[0|6,28\ldots]n=2    φ2=4,5[06,28]n=2\implies\varphi_2=4,5\in[0|6,28\ldots]

Hallo denno345,
berechne doch einfach mal [exp(6.5i)]π[\exp(6.5i)]^{\pi} und [exp((6.52π)i)]π[\exp((6.5-2 \pi)i)]^{\pi}
Gruß Mathhilf

Habe ich gemacht, bei 6.5i kommt wie gesagt i raus, bei 6.5 - 2pi nicht, war aber auch zu erwarten. Es muss bei 6.5 - 2pi auch nicht dasselbe rauskommen, ebenso muss bei (e^(i*0))0.5 und bei (e^(i*2pi))0.5 nicht dasselbe rauskommen.

Trotzdem löst die zahl e^(6.5 - 2pi) die gleichung zpi = i. Man muss doch nur die "richtige" "pi-te" wurzel benutzen.

Naja, von der Definition einer Rechenoperation würde ich schon erwarten:

z=wzp=wpz=w \Rightarrow z^p=w^p

Da kann ich dir grundsätzlich nur zustimmen. Wir müssen nur definieren, uns "aussuchen" welche z.b Wurzel wir denn als das Ergebnis ansehen. Z.b

Bei 10.5 haben wir ja die Möglichkeit zwischen 1 und -1 zu wählen, denn beide ins Quadrat geben eben 1. Wir wählen hier die 1. Wir könnten nun aber auch für (e^(6.5 - 2pi))pi einfach i als festen Wert festlegen. Daraus kann man wahrscheinlich keinen Nutzen ziehen, trotzdem wäre es doch möglich, oder nicht?

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