Question

Im gleichschenkligen Trapez ABCD teilen die Fußpunkte der Lote von B bzw. D auf AC die Diagonale AC in die Längen 6, 3.5 und 3. Welchen Flächeninhalt hat ABCD?

Comments

Ich komme auf einen Flächeninhalt von 75.

(a = 10, c = 5, h = 10)

Aus den Angaben 6 und 3 folgt a = 2c

Das Lot von D auf AC nenne ich x.

9,5² + x² = 6,5² + (2x)²  ⇒   x = 4

⇒   c = 5   ∧   a = 10

h² = 12,5² - 7,5²  ⇒   h = 10

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Ich komme auf einen Flächeninhalt von 75.

habe ich auch. Ich hab's mal konstruiert:

dazu habe ich die beiden Punkte \(E\) und \(F\) eingeführt. Das sind die Fußpunkte von \(B\) und \(D\) auf der Diagonalen \(AC\).

Es ist \(M\) der Mittelpunkt von \(AF\), \(|AG|\)(grün) \(=|EC|\) und bei der Konstruktion von \(|GH|=|FD|\) (rot) habe ich ausgenutzt, dass \(|AE|=2|FC|\) ist, somit bekommt man den Punkt \(H\), indem man bei \(F\) einen Winkel von 30° anträgt (gelb).

Answer 1

Die Dreiecke mit Basen \(a=\overline{AB}\) und \(c=\overline{CD}\) sind ähnlich; da man je eine Seite kennt, folgt daraus \(a=2c\).

Für den Schenkel \(s\) erhält man mit Pythagoras sowohl

\(s^2=9,5^2+x^2\) als auch \(s^2=6,5^2+(2x)^2\), wobei \(x\) die fehlende Seite des oberen Dreiecks mit der Basis \(c\) ist.

Das liefert \(9,5^2+x^2=6,5^2+4x^2\) bzw. \(x=4\). Mit Pythagoras sieht man dann schnell, dass \(c=5\) und \(a=10\) gelten.

Für die Höhe \(h\) des Trapezes berechnet man dann ebenfalls leicht mit Pythagoras

\(\left(\frac{a-c}{2}\right)^2+h^2=s^2=9,5^2+x^2=9,5^2+4^2\) bzw.

\(h^2=9,5^2+4^2-2,5^2=100\) und damit \(h=10\).

Die Fläche des Trapezes ist folglich

\(A=\frac{10+5}{2}\cdot 10=75\).