Aufgabe:
Betrachte die reellen Vektorräume \( V=\mathbb{R}^{2} \) und \( W=\mathbb{R}^{3} \) mit Standardbasen \( \mathcal{E}=\left(e_{1}, e_{2}\right) \) bzw. \( \mathcal{F}=\left(f_{1}, f_{2}, f_{3}\right) \) und weiteren Basen \( \mathcal{B}=\left(v_{1}, v_{2}\right) \) bzw. \( \mathcal{C}=\left(w_{1}, w_{2}, w_{3}\right), \) wobei
\[ \begin{array}{ll}{v_{1}=e_{1}-e_{2},} & {v_{2}=-2 e_{1}+e_{2}} \\ {w_{1}=f_{1}-f_{3},} & {w_{2}=f_{2}+f_{3},} & {w_{3}=f_{3}}\end{array} \]
Sei \( \vartheta \in \operatorname{Hom}\left(\mathbb{R}^{2}, \mathbb{R}^{3}\right) \) mit \( v_{1} \vartheta=w_{1} \) und \( v_{2} \vartheta=w_{2} . \) D.h. die Koordinatenmatrix von \( \vartheta \) bzgl. der Basen \( \mathcal{B} \) und \( \mathcal{C} \) erfülle
$$ [\vartheta]_{B, C}=\left(\begin{array}{lll} {1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \end{array}\right) $$
Bestimmen Sie die Koordinatenmatrix \( [\vartheta] \varepsilon_{\mathcal{F}} \) von \( \vartheta \) bxgl. der Basen \( \mathcal{E} \) und \( \mathcal{F} . \) Geben Sie zusätzlich invertierbare Ubergangsmatrizen \( P \) und \( Q \) an, so dass gilt: \( P[\vartheta]_{\mathcal{B}, \mathcal{C}} Q=[\vartheta] \varepsilon_{\cdot \mathcal{F}} \)
