(i) Betrachten Sie die Funktion
\( f: \mathbb{R} \backslash\{0\} \longrightarrow \mathbb{R}, x \longmapsto \sin \frac{1}{x} \)
Skizzieren Sie den Graphen von \( f \) und zeigen Sie:
(a) Der Grenzwert
\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \sin \frac{1}{x} \)
existiert nicht.
(b) Ist die Funktion \( g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) erklärt durch \( x \mapsto x f(x) \) für \( x \neq 0 \) und \( g(0)=0 \), so ist \( g \) stetig aber nicht differenzierbar in \( 0 . \)
(c) Die Funktion \( h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x g(x) \), ist differenzierbar in 0 .
(ii) Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) eine stetige Funktion mit
\( f(x+y)=f(x) \cdot f(y) \quad \forall x, y \in \mathbb{R} \)
Zeigen Sie: Entweder ist \( f(x)=0 \) für alle \( x \in \mathbb{R} \), oder es ist \( f(1)=: a>0 \) und es gilt \( f(x)=a^{x} \) für alle \( x \in \mathbb{R} \).
