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Aufgabe:

Die Firma Phony produziert Mobiltelefone (Y). Dazu benötigt sie Maschinen (M) und Personal (L).

Die Produktionsfunktion lautet

Y = M13L13 M^{\frac{1}{3}}L^{\frac{1}{3}}  . Eine Maschinenstunde kostet r, eine Arbeitsstunde kostet w. Phonys Budget beträgt m.

a) Berechnen Sie die optimale Menge von Maschinen-und Arbeitsstunden in Abhängigkeit von r, w und m.


Problem/Ansatz:

Hier muss man eine Nebenbedingung finden und diese in den Langrange-Ansatz einsetzen und diesen dann partiell ableiten. Würde mich freuen, wenn da jemand lösen könnte, oder zumindest eine sinnvolle Nebenbedingung finden :)?

Vielen Dank und schönen Sonntag

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Ist die Aufgabe wirklich in dieser Allgemeinheit gestellt worden, oder stehen dort konkrete Zahlen für r, w und m?

Bei der Teilaufgabe a) erstmal nicht. Also einfach in Abhängigkeit dieser Größen. (siehe Tschakabumba) . Hier noch die restliche Aufgabe:

b) Wie viele Arbeits-und Maschinenstunden setzt Phony ein, wenn das Budget m =16.000 EUR beträgt und die Inputpreise r = 1 EUR und w = 8 EUR sind? Wie viele Telefone produziert Phony dann?

c) Wie viele Arbeits-und Maschinenstunden setzt Phony ein, wenn das Budget m=100.000 EUR beträgt und die Inputpreise r = 2 EUR und w = 10 EUR sind? Wie viele Telefone produziert Phony dann?

Okay danke, das kannst Du ja dann mit der von Tschakumba und mir gegebenen allgemeinen Formel lösen.

2 Antworten

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Beste Antwort

Aloha :)

Die Funktion Y(M;L)Y(M;L) ist unter einer konstanten Nebenbedingung g(M;L)g(M;L) zu optimieren:Y(M;L)=M1/3L1/3;g(M;L)=Mr+Lw=!m=constY(M;L)=M^{1/3}L^{1/3}\quad;\quad g(M;L)=Mr+Lw\stackrel!=m=\text{const}

Nach Lagrange muss in den Extrempunkten der Gradient der zu optimierenden Funktion kollinear zum Gradienten der Nebenbedingung sein. Der Proportionalitätsfaktor ist der Lagrange-Multiplikator λ\lambda. Formal heißt das:

gradY=λgradg    (13M2/3L1/313M1/3L2/3)=λ(rw)\operatorname{grad}Y=\lambda\cdot\operatorname{grad}g\quad\implies\quad\binom{\frac13M^{-2/3}L^{1/3}}{\frac13M^{1/3}L^{-2/3}}=\lambda\binom{r}{w}Um den Lagrange-Multiplikator heraus zu rechnen, divdieren wir die Gleichung der ersten Koordinate durch die Gleichung der zweiten Koordinate:

λrλw=13M2/3L1/313M1/3L2/3=13L1/3L2/313M1/3M2/3=LM    rw=LM    Mr=Lw\frac{\lambda r}{\lambda w}=\frac{\frac13M^{-2/3}L^{1/3}}{\frac13M^{1/3}L^{-2/3}}=\frac{\frac13L^{1/3}L^{2/3}}{\frac13M^{1/3}M^{2/3}}=\frac LM\implies\frac rw=\frac LM\implies Mr=LwSetzen wir das in die Nebenbedingung gg ein, folgt:Mr=Lw=m2    M=m2r  ;  L=m2wMr=Lw=\frac{m}{2}\quad\implies\quad M=\frac{m}{2r}\;;\;L=\frac{m}{2w}Die optimale Produktionsmenge ist daher:Y=(m2r)1/3(m2w)1/3=(m24rw)1/3=m24rw3Y=\left(\frac{m}{2r}\right)^{1/3}\left(\frac{m}{2w}\right)^{1/3}=\left(\frac{m^2}{4rw}\right)^{1/3}=\sqrt[3]{\frac{m^2}{4rw}}

Avatar von 153 k 🚀

Vielen Dank !

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Nebenbedingung:

Mr + Lw = m

Avatar von 47 k

Vielen lieben Dank für die Antwort.

Ich habe bei diesem Ansatz erst Zweifel gehabt, da ja m aus r und w resultiert. Jedoch nicht eigenständig variabel ist. Also m wäre ja selbst von r und w abhängig . Wenn Sie wissen was ich meine . Ich weiß auch genau was Sie meinen und es war auch das erste an was ich gedachte habe..

LG

da ja m aus r und w resultiert

Dem ist nicht so.

okay danke :)

Das Maximum von Y sollte sein:

m 2/3 * 2 -2/3 * r -1/3 * w -1/3

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