Funktionen, Tangenten und Sekantensteigung

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion f(x)=x²-1

a) Ermittle rechnerisch die Sekantensteigung m(h) durch die Kurvenpunkte P(1/..) und Q(1+h/..)

b) Berechne die Tangentensteigung in einem beliebigen Punkt P0(x0|f(x0))

Problem/Ansatz:

bin recht überfordert mit diesen Steigungen und Funktionen verwirren mich auch....

also bei a) komme ich auf die richtige Lösung wenn ich beim Kurvenpunkt P(1|1²) nehme und Q(1+h|(1+h)²) nehme, jedoch habe ich gelernt man soll f(x)=x²-1 einbeziehen, aber dann komme ich auf ein falsches Resultat. Kann mir jemand die beiden aufgaben kurz lösen und bisschen erklären, THX

Answer 1

Aloha :)

Wir sollen für die Funktion $f(x)=x^2-1$ die Sekantensteigung $m(h)$ zwischen den Punkten $P(1|f(1))$ und $Q(1+h|f(1+h))$ bestimmen:$$m(h)=\frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}=\frac{f(1+h)-f(1)}{(1+h)-1}=\frac{(\overbrace{(1+h)^2-1)}^{=f(1+h)}-\overbrace{0}^{=f(1)}}{h}$$$$\phantom{m(h)}=\frac{(1+2h+h^2)-1}{h}=\frac{2h+h^2}{h}=2+h$$

Nun sollen wir zu einem beliebigen Punkt $P_0(x_0|f(x_0))$ die Tangentensteigung $m_0$ bestimmen. Dazu folgender Plan. Wir nehmen uns einen Punkt $Q(x_0+h|f(x_0+h))$ zur Hilfe, bestimmen die Sekantensteigung zwischen $P$ und $Q$ und lassen dann den Punkt $Q$ auf den Punkt $P$ zulaufen, indem wir den Grenzwert $h\to0$ bestimmen:$$m_0=\lim\limits_{h\to0}\frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{(x_0+h)-x_0}=\lim\limits_{h\to0}\frac{\overbrace{((x_0+h)^2-1)}^{=f(x_0+h)}-\overbrace{(x_0^2-1)}^{=f(x_0)}}{h}$$$$\phantom{m_0}=\lim\limits_{h\to0}\frac{(x_0^2+2x_0h+h^2)-1-x_0^2+1}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{2x_0h+h^2}{h}=\lim\limits_{h\to0}\left(2x_0+h\right)=2x_0$$

Comments

danke sehr! deine erklärungen sind so gut

kurze frage: Wieso haben wir bei P (f(1)) genommen, also Null? kann man da irgendeine Zahl oder wie weiss man, das?

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Bei Aufgabenteil (a) steht, dass wir den Punkt $P(1/..)$ nehmen sollen. Der passende $y$-Wert dazu ist $f(1)$.