Funktionen, Tangente, Sekantensteigung

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion f(x)= 1/2 x²+1

a)Zeichne den Graphen von f.

b) Zeichne im Punkt P(2/..) die Tangente an den Graphen und ermittle an Hand eines zweiten Punktes Q ihre ungefähre Steigung.

c) Ermittle rechnerisch die Sekantensteigung m(h) durch die Kurvenpunkte P(2/..) und Q(2+h/..)

Problem/Ansatz:

a) konnte ich lösen, weil +1 steht und dies der Schnitt im Y ist.

b) und c) mit Tangenten habe ich so meine Schwierigkeiten die Theorie checke ich so halb, aber geht es irgendwie einfacher. Wie würdet ihr vorgehen bei dieser Aufgabe? Danke

Answer 1

Aloha :)

zu a) Die Parabel sieht so aus.

~plot~ x^2/2+1 ; 2x-1 ; {2|3} ; {4|7} ;[[-4|5|0|8]] ~plot~

zu b) Die Tangente durch den Punkt \(P(2|3)\) kann man gut einzeichnen. Zusätzlich liegt der Punkt \(Q(4|7)\) auf der Tangente. Daher können wir ihre Steigung ermitteln:$$m=\frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}=\frac{7-3}{4-2}=\frac42=2$$

zu c) Jetzt haben wir immer noch denselben Punkt \(P(2|3)\), aber einen anderen Punkt \(Q(2+h|f(2+h))\). Er liegt diesmal nicht auf der Tangenten, sondern auf dem Graphen der Funktion. Die Steigung können wir wie gerade bestimmen:$$m_h=\frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}=\frac{f(2+h)-3}{(2+h)-2}=\frac{\left(\frac12(2+h)^2+1\right)-3}{h}$$$$\phantom{m_h}=\frac{\left(\frac12(4+4h+h^2)+1\right)-3}{h}=\frac{\left(2+2h+\frac{h^2}2+1\right)-3}{h}=\frac{2h+\frac{h^2}{2}}{h}=2+\frac h2$$

Answer 2

t(x) = (x-2)*f '(2) +f(2)

c) m= (f(2+h)-f(2))/(2+h-2)

Comments

Leider brauche ich es etwas ausführlicher

Answer 3

Hallo,

b) Zeichne im Punkt P(2/..) die Tangente an den Graphen und ermittle an Hand eines zweiten Punktes Q ihre ungefähre Steigung.

f(x)= 1/2 x^2+1

f(2)=1/2 * 2^2 +1 =3

Ein zweiter Punkt muss in der Nähe liegen, z.B. x=2,01

f(2,01)=1/2 * 2,01^2 +1 = ...

Nun hast du zwei Punkte und kannst die ungefähre Steigung ausrechnen.

:-)