Ich versuche das Konvergenzverhalten der Folge \( (x^n)_{n \in \mathbb{N}}\) für \(|x|<1\) zu verstehen. Es gilt \(\lim_{x \to \infty} x^n =0\). Beweis: Es existiert zu vorgegebenem \(e >0\) ein \(N \in \mathbb{N}\) mit \(|x|^N < e\) (das ist mir klar). Damit ist \(|x^n -0| = |x|^n \le |x|^N < e\) für alle \(n \ge N\). Das Problem habe ich an der Stelle \(|x|^n \le |x|^N\). Anschaulich ist es klar, aber mir fehlt ein Beweis. Ich muss im Grunde genommen zeigen, dass \(|x|^{n+1} \le |x|^n\) also \(|x|^n|x|\le|x|^n\) also \(ab \le a\) mit \(-1
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