Polynom n-ten Grades

Question

Habe hier mal systematisch die Ableitungen 1,,2 und 3-Grades hingeschrieben? Wie lautet die n-te Ableitung von pk? Danke für eure Hilfe !

pk′(x)=(k⋅x)^{k−1}
pk′′(x)=k⋅(k−1)⋅x^{k−2}
pk′′′(x)=k⋅(k−1)⋅(k−2)⋅x^{k−3}

Answer 1

$${ p }_{ k }(x)={ x }^{ k }$$Dann:$${{ { p }_{ k }^{ (n) } }(x)=\begin{cases} { x }^{ k-n }\prod _{ i=0 }^{ n-1 }{ (k-i) } ,n\le k \\ 0,n>k \end{cases} }$$

 

Die erste Ableitung hast du übrigens falsch notiert. Sie lautet:

pk ′ ( x ) = k⋅x^k−1

(Du hast die Klammern falsch gesetzt - und wenn man sie richtig setzt, dann braucht man sie wegen "Potenz- vor Punktrechnung" nicht :-)

Comments

Danke für deine schnelle Antwort.

Verstehe das soweit mit Fallunterscheidung usw. aber was bedeutet das nach x^{k-n} genau und wozu brauch ich das i ?
 

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Das Zeichen ist der große griechische Buchstabe Pi. Er hat, ähnlich wie bei dem bekannteren Summenzeichen ∑ , die Bedeutung, dass für jeden Index i ein Term in der hinter dem Zeichen angegebenen Form zu bilden ist und alle diese zu multiplizieren sind (beim ∑ sind sie zu addieren).

Für k = 5 etwa ist

p₅ ( x ) = x ⁵

Die n = 3-te Ableitung ist:

p₅^{( 3 )} ( x ) = 5 * 4 * 3 * x ²

Das kann man auch schreiben als:

p₅^{( 3 )} ( x ) = x ^{5 - 3} * ( 5 - 0 ) * ( 5 - 1 ) * ( 5 - 2 )

Und nun siehst du vielleicht, dass alle drei Faktoren am Ende dieses Terms die Form ( 5 - i ) haben, wobei i die Werte 0, 1 und 2 annimmt. Die drei Faktoren sind also sehr regelmäßig aufgebaut und das macht man sich in der Kurzschreibweise zu nutze. Genau diese drei letzten Faktoren werden nämlich durch den Ausdruck:

$$\prod _{ i=0 }^{ 2 }{ (5-i) }$$

beschrieben.
Indem man diesen Ausdrucks nun noch weiter verallgemeinert, kann man ihn zur Beschreibung jedes Ableitungsgrades n einer jeden Funktion der Form x ^k  nutzen. Dazu ersetzt man, wie ich es getan habe, die Konstante 5 durch eine Variable k und die Konstante 2 durch den Ausdruck n-1. Man erhält:

$$\prod _{ i=0 }^{ n-1 }{ (k-i) }$$

und erhält so die Faktoren ( k - 0 ), ( k - 1 ) , ( k - 2 ) , ... , ( k - ( n - 1 ) ) und das sind genau die Faktoren, mit denen die aus der Funktion

p_k( x ) = x ^k

nach n-maligem Ableiten entstehende Funktion x ^{k - n} zu multiplizieren ist, um die n-te Ableitung von x ^k darzustellen.

Das gilt natürlich nur, sofern n <= k ist. Wird die Funktion x ^k mehr als n mal abgeleitet, dann ist der Wert der Ableitung gleich Null. Genau das besagt der zweite Fall der Fallunterscheidung.