Es seien die Matrizen A ∈ Km×n und B ∈ Kn×m gegeben, wobei m > n ist. Zeigen Sie: det(AB) = 0

Question

Aufgabe:

Es seien die Matrizen A ∈ K^m×n und B ∈ K^n×m gegeben, wobei m > n ist. Zeigen Sie: det(AB) = 0

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht genau wie ich diese Aufgabe zeigen soll.

Als Hinweis wurde uns angegeben mit Zeilen und Spaltenrang zu arbeiten und mit invertierbaren Matrizen.

Kann mir ein netter Mathematiker Hilfestellung leisten?

Lieben Gruß

Answer 1

Der Rang einer \(r\times s\)-Matrix ist \(\leq \min(r,s)\).

Es gilt \(Rang(AB)\leq Rang (A)\), sowie \(Rang(AB)\leq Rang(B)\).

Da \(Rang(A)\leq \min(m,n)=n\) und ebenso \(Rang(B) \leq \min(m,n)=n\) ist,

folgt \(Rang(AB)\leq n\lt m\). \(AB\) ist eine \(m\times m\)-Matrix.

Da der Rang kleiner ist als die Reihenzahl, ist die Matrix nicht invertierbar,

ihre Determinante also \(=0\).

Comments

vielen Dank :-)