Bestimme den Kern und bestimme die neue transformationsmatrix A' bezüglich des Basiswechsel

Question

Aufgabe:

Bestimme das a. Bild und Kern der Transformationsmatrix b? Bestimme die Transformationsmatrix A' ?

Betrachte einen Endomorphismus a : ℝ³ -> ℝ³ , dessen Transformationsmatrix bezüglich der Standardbasis ist

A =

1	1	0
1	-1	0
1	1	1

a) Bestimme den Kern(a) und das Bild(a)

b) Bestimme die Transformationsmatrix A' im Bezug auf die neue Basis B = ((1,1,1),(1,2,1),(1,0,0))

falls einer das nicht enzffern kann

https://mml-book.github.io/book/mml-book.pdf

kapitel 2 exericses aufgabe 2.19

Meine Lösung für die a)

Bei der b komme ich nicht weiter !

Comments

Also ist was falsch gelaufen ?

Answer 1

Bei A stimmt es .

b) In den Spalten der Matrix stehen die Koeffizienten,

mit denen man die Bilder der Basisvektoren in der

neuen Basis darstellen kann.

Also etwa für den ersten:

$$a(\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix})= \begin{pmatrix} 2\\0\\3 \end{pmatrix}$$

Darstellen mit B = ((1,1,1),(1,2,1),(1,0,0)) gibt

$$ \begin{pmatrix} 2\\0\\3 \end{pmatrix}= 6*\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix})+(-3)*\begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix})+(-1)*\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix})$$

Also ist die erste Spalte der Matrix fertig

6     ?   ?
-3    ?   ?
-1    ?   ?.

Comments

kann ich die Transformationsmatrix nicht separat bestimmen? wie im artikel

https://www.biancahoegel.de/mathe/vektor/basiswechsel.html

Abschnitt Basiswechsel bei Abbildungsmatrizen?

sodass ich alle transformationsmatrizen seperat ausrechne und mutlipliziere umso den final matrix zu erhalten ?

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Ja, das geht auch.

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ich versuche es mal ,wird aber sehr mühselig

Answer 2

Ganz formal

_eA_e = A

Basis Transformation von b nach e aus den Basis Vektroen

_{\(_eT_b = \left(\begin{array}{rrr}1&1&1\\1&2&0\\1&1&0\\\end{array}\right)\)}

_{dann passend zusammen stellen}

_{\(_bA_b = \) \((_eT_b) ^{-1}\) \( _eA_e\) \( _eT_b \)}

Comments

verusche es gleich selber zu lösen aber muss erst an die ha dran übungszettel