Zeigen Sie |R|= |(0, 1)|= |P(N)|.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie |R|= |(0, 1)|= |P(N)|.

Problem/Ansatz:

ich kann nicht die aufgabe lösen,

Weißt jemand wie die gelöst werden kann.

Comments

Hallo,

ich verstehe nicht, worum es geht. Wofür stehen die Bezeichnungen?

Gruß Mathhilf

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Es soll gezeigt werden, dass die drei angegebenen Mengen:

$\mathbb{R}$, das Intervall $(0,1)$ und die Potenzmenge $P(\mathbb{N})$

die gleiche Mächtigkeit besitzen.

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Danke für die schnelle Erklärung - jetzt sehe ich es auch ;-)

Answer 1

Zur Gleichmächtigkeit von $\mathbb{R}$ und $(0,1)$

Betrachte die Abbildung $f:\;\mathbb{R}\rightarrow (-1,1), \; x\mapsto \frac{x}{1+|x|}$.

Diese Abbildung ist eine Bijektion, wie man "leicht" nachweisen kann.

Ferner betrachten wir die Funktion $g:\; (-1,1)\rightarrow (0,1),\; x\mapsto \frac{1}{2}(x+1)$.

Auch diese Abbildung ist offenbar eine Bijektion.

$g\circ f:\; \mathbb{R}\rightarrow (0,1)$ ist dann eine Bijektion und damit

ist die Gleichmächtigkeit von $\mathbb{R}$ und $(0,1)$ gezeigt.

Zum Nachweis der Gleichmächtigkeit von $(0,1)$ mit $P(\mathbb{N})$

mache ich mir angesichts der vielen Spezialfälle das Leben leichter:

Betrachte die offenbar injektive Abbildung

$h:\; P(\mathbb{N})\rightarrow (0,1)$ definiert durch

$h(M)=10^{-1}+\sum_{i \in M}10^{-(i+2)}$.

Dies ist eine injektive Abbildung, aus der sich $|P(\mathbb{N})|\leq |(0,1)|$

ergibt. Andererseits ist $P(\mathbb{N})$ überabzählbar,

d.h. $|\mathbb{N}|<|P(\mathbb{N})|\leq |(0,1)|=c$.

Gemäß der Continuumhypothese ist daher $|P(\mathbb{N})|= |(0,1)|$.

Comments

Was meinst du mit leicht?

Wie kommst du auf dein g?

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Zu meinem $g$:

Man verschiebe (-1,1) um 1 nach rechts, dann bekommt man (0,2).

Dies wird mit dem Faktor 1/2 gestaucht ;-)

Mit dem "leicht" meine ich, dass der Knackpunkt der Nachweis

der Injektivität ist, also $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$,

was aber zu meistern ist ...

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Danke.

Ich versuche in diesem Bereich ein wenig dazuzulernen, obwohl er mir

eigentlich nicht liegt. :)

Für dich als Profis ist das ein Kinderspiel, wie ich sehe.

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Das freut mich :-)
Man kann gar nicht genug dazulernen ....

LG ermanus

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Für $f$ bietet sich je nach Vorwissen auch die Bijektion

$$f : \mathbb R \to \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right), ~ x\mapsto \arctan(x)$$

an. g muss man dann wieder etwas anpassen.

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Oh ja, auch eine gute Idee :-)
Danke!

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Könnten Sie bitte auch die Gleichmächtigkeit von (0,1) mit P(N) nachweisen.

Vielen Dank im Voraus.

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OK! ich ergänze meine Antwort entsprechend.

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Vielen Danke,

dann warte ich auch Ihre Rückmeldung.

Mit freundlichen Grüßen

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vgl:

https://www.aleph1.info/?call=Puc&permalink=mengenlehre1_1_9_Z4

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@ali12322: Antwort ist ergänzt!

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Die Kontinuumshypothese ist in gängigen Axiomsystemen (zB. ZFC) nicht entscheidbar und kann somit nicht zum Beweis herangezogen werden.

Der Fragesteller muss also wohl oder übel explizit eine hässliche Injektion von (0,1) nach P(IN) ausarbeiten.

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Ob man die Continuumhypothese voraussetzen darf, hängt ja von den

Vorlesungen, die der Fragesteller zugrundelegen darf, ab.

Das müssen wir also den Fragesteller fragen ;-)

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Die Lösungsmethode hat mich erstaunt, schön, wunderbar, man kann so antworten wie man will, wichtig ist zu beweisen.

Vielen Dank für Ihre und Eure Hilfe.

Mit freundlichen Grüßen

Answer 2

Die Menge der Zahlen zwischen 0 und 1 ist nicht abzählbar, sondern überabzählbar unendlich.

Comments

Das dürfte Alis Frage denn ja wohl beantworten

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Echt ????????  $\;\; \;$

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@ermanus

Hallo, ich brauche Ihre Hilfe.

Könnten Sie mir bitte helfen.