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Aufgabe:

1) Seien A,B,C Aussagen.  Zeigen Sie die folgenden Distributivgesetze:

a) (A∨B)∧C ⇔ (A∧C)∨(B∧C) 
b) (A∧B)∨C ⇔ (A∨C)∧(B∨C)


2) Seien P,Q,R Mengen. Zeigen Sie die folgenden Distributivgesetze:

a) (P∪Q)∩R = (P∩R)∪ (Q∩R)
b) (P∩Q)∪R = (P∪R) ∩(Q∪R)

Extraaufgabe: Können Sie auch Kommutativ- und Assoziativgesetze formulieren ?



Problem/Ansatz:

Ich kann in beiden Fällen das Distributivgesetz zeigen indem ich Venn-Diagramme benutze und das, was links steht aussschraffiere und das was rechts steht aussschraffiere und so Gleichheit zeigen kann. 

Ich denke das müsste aber auch anderst gehen, kann jemand helfen ?

von

1 Antwort

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(A∨B)∧C ⇔ (A∧C)∨(B∧C)
A
B
C
(A∨B)∧C
(A∧C)∨(B∧C)
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Fülle die Wertetabelle aus. Die Aussage stimmt, wenn die letzten beiden Spalten übereinstimmen.

(P∪Q)∩R = (P∩R)∪ (Q∩R)

Laut Definition von ∪ und ∩ gilt

        (P∪Q)∩R = {x | (x∈P ∨ x∈Q) ∧ x∈R}

und

        (P∩R)∪(Q∩R)) = {x | (x∈P ∧ x∈R) ∨ (x∈Q ∧ x∈R) }.

Laut 1) a) gilt

        (x∈P ∨ x∈Q) ∧ x∈R(x∈P ∧ x∈R) ∨ (x∈Q ∧ x∈R).

Also gilt (P∪Q)∩R = (P∩R)∪ (Q∩R).

von 53 k 🚀

Top, das ache ich ! :) 
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