1.) z.Z.: \(g\circ f\) ist bijektiv, d.h. injektiv und surjektiv.
Injektivität:
Angenommen \((g\circ f)(x)=(g\circ f)(y)\) für \(x,y\in M\).
Nach Definition der Komposition folgt \(g(f(x))=g(f(y))\).
Da \(g\) injektiv ist, folgt \(f(x)=f(y)\).
Da \(f\) injektiv ist, folgt \(x=y\).
Damit ist \(g\circ f\) injektiv.
Surjektivität:
Sei \(o\in O\) beliebig.
Da \(g\) surjektiv ist, existiert zu diesem \(o\) ein Urbild \(n\in N\) mit \(g(n)=o\).
Da \(f\) surjektiv ist, existiert zu diesem \(n\) ein Urbild \(m\in M\) mit \(f(m)=n\).
Also folgt \(g(f(m))=o\), zu \(o\) existiert also das Urbild \(g(f(m))\).
Damit ist \(g\circ f\) surjektiv.
Insgesamt ist \(g\circ f\) bijektiv.
2.) z.Z. \((g\circ f)^{-1} = f^{-1}\circ g^{-1}\).
Da es zu jeder bijektiven Funktion genau eine inverse Funktion gibt (und \((g\circ f)^{-1}\) ja bereits die inverse Funktion zu \(g\circ f\) ist) reicht es zu zeigen, dass \((g\circ f)(f^{-1}\circ g^{-1}) = (f^{-1}\circ g^{-1})(g\circ f)=id_O\).
Hier wirst du die Assoziativität der Komposition von Funktionen anwenden können (das sollte sich hier nicht als allzu schwer herausstellen).
