Widerlegen Injektiv und Surjektiv -> Komposition Bijektiv

Question

f: A -> B und g: C -> D mit f(A) ⊆ C

Beweisen oder widerlegen:

Ist f injektiv und g surjektiv, ist g o f bijektiv.

Ich weiß, dass die Behauptung falsch ist und möchte nicht per Gegenbeispiel beweisen, sondern über die Definitionen, leider kriege ich das nicht hin.
Ich bräuchte daher mal einen Tipp.

f injektiv -> für alle x₁, x₂ aus A gilt f(x₁) = f(x₂) woraus folgt x₁ = x₂

g surjektiv -> für alle y aus C existiert ein x aus D mit g(x) = y

_{-> ??}

Answer 1

Ich weiß, dass die Behauptung falsch ist und möchte nicht per Gegenbeispiel beweisen, sondern über die Definitionen,

so ganz ohne Gegenbeispiel geht es wohl nicht.

wenn du so anfängst:

f injektiv -> für alle x₁, x₂ aus A gilt f(x₁) = f(x₂) woraus folgt x₁ = x₂

oder hier vielleicht besser    wenn  x₁ ≠ x₂ dann  f(x₁) ≠ f(x₂)

und    g surjektiv -> für alle y aus C existiert ein x aus D mit g(x) = y.

wenn man jetzt versuchen würde eine Überlegung für  "g o f bijektiv"

zu starten könnte man auch so beginnen

Seien   x₁ ≠ x₂  aus  A, dann jedenfalls   f(x₁) ≠ f(x₂) und da

  f(x₁) und  f(x₂) beide in f(A) liegen sind jedenfalls

  g(f(x₁))   und   g(f(x₂)  definiert aber niemand garantiert mir, dass

die beiden verschieden sind ( Das müssten sie sein, wenn gof injektiv wäre.)

aber niemand garantiert mir,  ist zum Widerlegen der Behauptung zu schwach;

deshalb solltest du doch zu einem konkreten Gegenbeispiel greifen.

Comments

Ah okay, danke. Ich bin gar nicht erst auf die Idee gekommen vom Gegenteil auszugehen ^^

Nun gut, dann nehm ich wohl einfach f(x) = e^x und g(x) = x² und mach daraus g o f = h(x) = e^{x^2}

h(1) = e
h(-1) = e

-> aus f(x1) = f(x2) folgt nicht x1 = x2 daher nicht injektiv und somit auch nicht bijektiv, da bijektiv :⇔ injektiv ∧ surjektiv.

Reicht das formal so aus?

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noch was anderes:

g o f bijektiv -> f injektiv g surjektiv

wenn g o f bijektiv daher auch surjektiv:

surjektiv -> d ∈ D und es gibt ein a ∈A mit g(f(a)) = d
wegen f(A) ⊆ C ist c = f(a) und deshalb g(c) = d

wenn g o f bijektiv daher auch injektiv:

injektiv -> f(a1) = f(a2) wegen injektivität g(f(a1)) = g(f(a2)) und damit folgt a1 = a2

richtig?

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zu deinem 1. Kommentar:

Du musst natürlich noch die Mengen A,B,C , D aus der Aufgabe angeben 

und f(A) ⊆ C und f inj. und g surjektiv zeigen,

sonst ist das nicht komplett.