Konvergenz zeigen, Grenzwerte vergleichen: 1-1+1/2-1/2+1/3-1/3....

Question

Sei \( ak := \left\{\begin{array}{l}\frac{2}{k+1}, \text { falls } k \text { ungerade } \\ \frac{-2}{k}, \text { falls } k \text { gerade }\end{array}\right. \)

Betrachten Sie die Reihe \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k}\left(=1-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3} \ldots\right) \)  sowie die folgende Reihe, die durch geeignetes Umsortieren der a_k entsteht:

\( \left(-1+1+\frac{1}{2}\right)+\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}\right)+\ldots \)

a) Zeigen Sie, dass beide Reihen konvergieren. Sind die Grenzwerte gleich?

b) Was können Sie daraus für das Rechnen mit Reihen folgern?

Answer 1

(1) Betrachte die Folge der Partialsummen \(c_n\) der ursprünglichen Reihe. Offensichtlich gilt

$$c_n=\sum_{k=1}^na_k = \begin{cases} \begin{array}{ll}\frac2{n+1}&\text{, falls }n\text{ ungerade}\\0&\text{, falls }n\text{ gerade.}\end{array} \end{cases}$$

Damit ist \(\lim\limits_{n\to\infty}c_n=0.\)

(2) Betrachte wieder die Folge der Partialsummen \(s_n\) der umsortierten Reihe. Es ist$$s_n=\sum_{k=1}^n\left(-\frac1k+\frac1{2k-1}+\frac1{2k}\right)=\sum_{k=1}^n\left(\frac1{2k-1}-\frac1{2k}\right)=1-\frac1{2n}.$$Damit ist \(\lim\limits_{n\to\infty}s_n=1\).

(3) Anders als bei endlichen Summen kann (muss aber nicht) der Wert einer unendlichen Reihe von der Reihenfolge der Summanden abhängen.