Grenzwert der Reihe ∑(k=1 bis ∞) 1/(k(k+3)) und ist die Lösung der Konvergenz so korrekt?

Question

Aufgabe lautet:

a) bestimme den Grenzwert der Reihe  ∑(k=1 bis ∞) 1/(k(k+3))

Hinweis: 1/k(k+3) = a/k + b/(k+3) für geeignete a,b ∈ ℝ

b)Untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz

∑(k=0 bis ∞) 1/(5k+3)  ,  ∑(k=2 bis ∞) 1/(k+(-1)^k)

 

Mein Ansatz zu a)

∑(k=1 bis ∞) 1/k(k+3) ist umgeformt = 1/3 * (1/k +1/(k+3))   ist das so richtig, und wie mach ich nun weiter?

 

zu b)

1) ∑ 1/5k+3

1/5k+3 > 1/5k+5 = 1/(5(k+1))

∑1/5(k+1) = 1/5 * ∑1/k+1 = -1/5 +1/5 * ∑1/k

∑1/k →+∞ , also auch 1/5*∑1/k→+∞ also auch -1/5+1/5*∑1/k = ∑1/5(k+1) →+∞

⇒ ∑1/5k+5 eine gegen +∞ divergierende Minorante zu ∑1/5k+3

⇒ ∑1/5k+3 ist nicht konvergent

 

2) ∑1/k+(-1)^k  mit Majorantenkriterium

∑1/k+(-1)^k ≥ ∑ 1/k-1 und ∑1/k-1 ist divergent.

 

Kann ich das so machen, oder hab ich irgendwo Fehler? und wie gehe  ich bei der a) weiter vor?

Comments

a) wie hast du denn die Partialbruchzerlegung berechnet?

Kontrolle mit https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F%28k%28k%2B3%29%29&dataset=

zeigt, dass da was nicht stimmen kann.

1/(k(k+3)) = a/k + b/(k+3)          |*Hauptnenner

1 = a(k+3) + bk

1 = ak + 3a + bk

Koeffizientenvergleich

1 = 3a ==>  a = 1/3

ak = -bk ==> a = -b ==> b = -1/3

1/(k(k+3)) = 1/(3k) - 1/(3(k+3))

Und nun kommst du auf eine Teleskopsumme.

Schau mal, wie das bei den ähnlichen Aufgaben mit Tag Teleskopsumme gemacht wurde.

https://www.mathelounge.de/tag/teleskopsumme

---

danke für deine Hilfe.

Also ich hab mir die Teleskopsumme angesehen und versucht es hier anzuwenden:

∑(k=1 bis ∞) 1/(3k) - 1/(3(k+3)) = lim(N→∞) ∑(k=1 bis N) 1/(3k)-1/(3(k+3))

=(1/3 -1/12)+(1/6-1/15)+...+(1/(3(N-1) - 1/(3(N+2))+(1/(3N)-1/(3(N+3))

Allerdings kann man dabei doch gar nichts wegkürzen, also hab ich bestimmt was falsch gemacht

---

Habe gerade nochmal drüber geschaut, wenn man etwas weiter ausschreibt, sieht man, dass sich doch etwas kürzen lässt, dadurch bleiben

1/3+1/6+1/9 "vorne" übrig, aber wie schaut es mit den letzten Sachen aus?

zusammengefasst:

1/3 + 1/6 +1/9 - 1/(3(N+2)) + 1/(3N) - 1/(3(N+3))

ist das das was übrig bleibt, oder ist das auch falsch?

---

Die letzten Summanden gehen einzeln gegen 0, da N gegen unendlich geht.

D.h. du musst jetzt nur noch die ersten 3 Brüche addieren um die Summe bis unendlich zu bestimmen.

Kontrolliere zum Schluss mit https://www.wolframalpha.com/input/?i=∑%28k%3D1+to+infinity%29+1%2F%28k%28k%2B3%29%29

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Ich danke dir vielmals Lu.

Kannst du mir vielleicht noch sagen ob die b) so ok wäre?

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b) schaut vielleicht jemand anders noch an. Die Frage ist ja immer noch unbeantwortet.

Es scheinen aber Klammern zu fehlen

 

∑ 1/(5k+3)

1/(5k+3) > 1/(5k+5) = 1/(5(k+1))

Würde eher Sinn machen.

Der Weg zum Vergleich mit der harmonischen Reihe und Divergenz ist an sich ok.

Answer 1

a) wie hast du denn die Partialbruchzerlegung berechnet?

Kontrolle mit https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F%28k%28k%2B3%29%29&dataset=

zeigt, dass da was nicht stimmen kann.

1/(k(k+3)) = a/k + b/(k+3)          |*Hauptnenner

1 = a(k+3) + bk

1 = ak + 3a + bk

Koeffizientenvergleich

1 = 3a ==>  a = 1/3

ak = -bk ==> a = -b ==> b = -1/3

1/(k(k+3)) = 1/(3k) - 1/(3(k+3))

Und nun kommst du auf eine Teleskopsumme.

Schau mal, wie das bei den ähnlichen Aufgaben mit Tag Teleskopsumme gemacht wurde.

https://www.mathelounge.de/tag/teleskopsumme Kommentiert 3 Jun von Lu 

danke für deine Hilfe.

Also ich hab mir die Teleskopsumme angesehen und versucht es hier anzuwenden:

∑(k=1 bis ∞) 1/(3k) - 1/(3(k+3)) = lim(N→∞) ∑(k=1 bis N) 1/(3k)-1/(3(k+3))

=(1/3 -1/12)+(1/6-1/15)+...+(1/(3(N-1) - 1/(3(N+2))+(1/(3N)-1/(3(N+3))

Allerdings kann man dabei doch gar nichts wegkürzen, also hab ich bestimmt was falsch gemacht Kommentiert 3 Jun von Gast ih16 

Habe gerade nochmal drüber geschaut, wenn man etwas weiter ausschreibt, sieht man, dass sich doch etwas kürzen lässt, dadurch bleiben

1/3+1/6+1/9 "vorne" übrig, aber wie schaut es mit den letzten Sachen aus?

zusammengefasst:

1/3 + 1/6 +1/9 - 1/(3(N+2)) + 1/(3N) - 1/(3(N+3))

ist das das was übrig bleibt, oder ist das auch falsch? Kommentiert 3 Jun von Gast ih16 

Die letzten Summanden gehen einzeln gegen 0, da N gegen unendlich geht.

D.h. du musst jetzt nur noch die ersten 3 Brüche addieren um die Summe bis unendlich zu bestimmen.

Kontrolliere zum Schluss mit https://www.wolframalpha.com/input/?i=∑%28k%3D1+to+infinity%29+1%2F%28k%28k%2B3%29%29