Bestimmen Sie das Infimum (Inf(B)).

Question

Aufgabe:Es sei B:={y ∈ ℚ : y² ≤ 5}. Bestimmen Sie das Infimum (Inf(B)).

Problem/Ansatz: Nach meinem Wissen ist diese Menge B doch eine leere Menge und demnach müsste das Inf(B) = ∞ sein, oder habe ich da einen Denkfehler?

Answer 1

Aloha :)

$$y^2\le5\quad\Longleftrightarrow\quad|y|\le\sqrt5\quad\Longleftrightarrow\quad-\sqrt5\le y\le\sqrt5$$Da \(y\in\mathbb Q\) gefordert ist, aber \((\pm\sqrt5)\not\in\mathbb Q\), fällt die Gleichheit weg:$$-\sqrt5<y<\sqrt5$$Das Infimum ist daher \((-\sqrt5)\).

Jede reelle Zahl kann durch eine rationale Zahl beliebig dicht angenähert, aber nie exakt getroffen werden. (\(\mathbb Q\) liegt dicht in \(\mathbb R\)).