Ableitung [cos(x)-sin(x)]²?

Question

Aufgabe:

Folgendes einmal ableiten;

[cos(x)-sin(x)]²

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass die Lösung f'(x)= -2*(cos²(x)-sin²(x)) ist. Aber wie kommt man drauf? Wurde die Produktregel angewendet und hat es was mit der binomischen Formel zutun?

Answer 1

Aloha :)

Es gibt hier zwei geeignete Rechenwege...

1) Kettenregel:$$\left(\;(\cos x-\sin x)^2\;\right)'=\underbrace{2(\cos x-\sin x)}_{=\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{(\cos x-\sin x)'}_{=\text{innere Abl.}}$$$$=2(\cos x-\sin x)\cdot(-\sin x-\cos x)=-2(\cos x-\sin x)\cdot(\cos x+\sin x)$$$$=-2(\cos^2x-\sin^2x)=-2\cos(2x)$$

2) Produktregel:$$\left(\;(\cos x-\sin x)^2\;\right)'=(\;\underbrace{(\cos x-\sin x)}_{=u}\cdot\underbrace{(\cos x-\sin x)}_{=v}\;)'$$$$=\underbrace{(-\sin x-\cos x)}_{=u'}\cdot\underbrace{(\cos x-\sin x)}_{=v}+\underbrace{(\cos x-\sin x)}_{=u}\cdot\underbrace{(-\cos x-\cos x)}_{=v'}$$$$=-2(\cos x-\sin x)\cdot(\sin x+\cos x)=-2(\cos^2x-\sin^2x)=-2\cos(2x)$$

Answer 2

Wurde die Produktregel angewendet

Seltsame Frage. Da es um die Ableitung eines Produktes geht, kann man die Produktregel verwenden.

hat es was mit der binomischen Formel zutun?

Auch das ist ein möglicher Lösungsweg.

Answer 3

Versuch es doch mit der Kettenregel:

Äußere Ableitung mal innere Ableitung.