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Aufgabe:

1) Wie lautet der Grenzwert x der Folge (xn)n≥2, wenn

xn1+n1n \frac{1+\sqrt{n}}{1-\sqrt{n}}

2) Zu jedem ε > 0 gebe man eine Indexschranke n0(ε) an, so dass für alle n > n0(ε) : |xn − x| < ε.


Problem/Ansatz:

Zu 1) Ist relativ schnell klar, dass der Grenzwert der Folge = -1 ist.

Zu 2) Habe ich eine Lösung vorgegeben bekommen, welche mir nicht ganz klar ist:

Wir suchen eine Indexschranke, sodass folgendes gilt

xnx=1+n1n+1=1+n+1n1n=2n1<ε \left|x_{n}-x\right|=\left|\frac{1+\sqrt{n}}{1-\sqrt{n}}+1\right|=\left|\frac{1+\sqrt{n}+1-\sqrt{n}}{1-\sqrt{n}}\right|=\frac{2}{\sqrt{n}-1}<\varepsilon

Nun zu meiner Frage: Muss es im letzten Schritt nicht 21n \frac{2}{1-\sqrt{n}} heißen? Oder was übersehe ich hier - den Betrag? Selbst durch den Betrag müsste doch  21+n \frac{2}{1+\sqrt{n}} heißen, oder?

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Bist du sicher, dass die Folge so angegeben ist?

Danke für den Hinweis. Nein, es muss richtig heißen:


xn1+n1n \frac{1+\sqrt{n}}{1-\sqrt{n}}


Könnte dies jemand korrigieren?

Hallo,

die Definition des Betrags ist:

x=x falls x0 und x=x falls x<0|x|=x \text{ falls }x \geq 0 \qquad \text{ und } \qquad |x|=-x \text{ falls }x <0

Letzteres greift in Deinem Fall.

Gruß Mathhilf

2 Antworten

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Wenn xn=1+xn1xn \frac{1+\sqrt{x_n}}{1-\sqrt{x_n}} dann ist xn=1 für jedes n.

Avatar von 124 k 🚀
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Aloha :)

Wir betrachten die Folge:xn=1+n1n;n2x_n=\frac{1+\sqrt n}{1-\sqrt n}\quad;\quad n\ge2Um eine Vermutung für den Grenzwert xx zu erhalten, formen wir um:xn=1n+2n1n=1n1n+2n1n=1+21n1x_n=\frac{1-\sqrt n+2\sqrt n}{1-\sqrt n}=\frac{1-\sqrt n}{1-\sqrt n}+\frac{2\sqrt n}{1-\sqrt n}=1+\frac{2}{\frac1{\sqrt n}-1}Für n2n\gg2 nähert sich 1n\frac1{\sqrt n} der 00 an, sodass wir als Grenzwert x=1+21=1x=1+\frac{2}{-1}=-1 vermuten. Zum Beweis des Kandidaten als Grenzwert wählen wir ein beliebiges ε>0\varepsilon>0 und bestimmen:

xnx=(1+21n1)(1)=2+21n1=(2n2)+21n1\left|x_n-x\right|=\left|\left(1+\frac{2}{\frac1{\sqrt n}-1}\right)-(-1)\right|=\left|2+\frac{2}{\frac1{\sqrt n}-1}\right|=\left|\frac{\left(\frac2{\sqrt n}-2\right)+2}{\frac1{\sqrt n}-1}\right|xnx=2n1n1=21n=(n2)2n1<!ε\phantom{\left|x_n-x\right|}=\left|\frac{\frac2{\sqrt n}}{\frac 1{\sqrt n}-1}\right|=\left|\frac{2}{1-\sqrt n}\right|\stackrel{(n\ge2)}{=}\frac2{\sqrt n-1}\stackrel!<\varepsilonWir müssen nun prüfen, ob es ein n0n_0 gibt, so dass diese Ungleichung für fast alle nn erfüllt ist, das heißt sie gilt ab einem bestimmten n0n_0 für alle weiteren nn0n\ge n_0n12>ε        n>2ε+1    (n>0)    n>(2ε+1)2n0=(2ε+1)2\frac{\sqrt n-1}{2}>\varepsilon\;\;\Longleftrightarrow\;\;\sqrt n>2\varepsilon+1\;\;\stackrel{(n>0)}{\Longleftrightarrow}\;\;n>(2\varepsilon+1)^2\quad\leadsto\quad n_0=\lceil(2\varepsilon+1)^2\rceil

Für alle ε>0\varepsilon>0 gilt also xn(1)<ε|x_n-(-1)|<\varepsilon für fast alle nNn\in\mathbb N.

Damit ist der Grenzwert der Folge tatsächlich x=1x=-1.

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