Für welche Matrix x(x1,x2,x3) gilt: A*x = -2x

Question

Aufgabe:

Es sei eine Matrix A

1	2	1
4	3	2
1	3	-1

Gesucht ist die Matrix x

x1

x2

x3

für die gilt: AX=-2X

Interpretieren sie geometrisch

Problem/Ansatz:

Was ich bisher gemacht habe:

A*X berechnet und gleich -2x gesetzt.

Dann hatte ich 3 gleichungen

3x1+2x2+x3=0

4x1+5x2+2x3=0

x1+3x2+x3=0

bisschen umgeformt und ich habe erhalten dass x=

x1

0,5x1

-1,75x1

Hab absolut keine Ahnung ob das was stimmt, und bei dem geometrisch interpretieren bin ich ganz raus

Danke sehr

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Deine Überlegungen sind korrekt, aber bei der Durchführung hast du dich vertan. Du kannst nicht einfach den Vektor von der Matrix subtrahieren, das wäre die Subtraktion einer $3\times1$-Matrix von einer $3\times3$-Matrix. Die ist jedoch nicht definiert. Der "Trick" ist hier, dass du eine Einheitsmatrix einbaust. Die Multiplikation eines Vektors $\vec x$ mit einer Einheitsmatrix $\mathbf E$ lässt den Vektor ungeändert, also $\mathbf E\cdot\vec x=\vec x$.

Ich mache diesen Schritt mal ganz ausführlich:

$$\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1\\4 & 3 & 2\\1 & 3 & -1\end{array}\right)\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=-2\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$$$$\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1\\4 & 3 & 2\\1 & 3 & -1\end{array}\right)\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$$$\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1\\4 & 3 & 2\\1 & 3 & -1\end{array}\right)\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}+2\cdot\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$$$\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1\\4 & 3 & 2\\1 & 3 & -1\end{array}\right)\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}+\left(\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 2\end{array}\right)\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$$$\left[\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1\\4 & 3 & 2\\1 & 3 & -1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 2\end{array}\right)\right]\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$$$\left(\begin{array}{rrr}3 & 2 & 1\\4 & 5 & 2\\1 & 3 & 1\end{array}\right)\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$

Die Lösung dieses Gleichungssystems ist eine Gerade:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\-2\\7\end{pmatrix}\quad;\quad\lambda\in\mathbb R$$Es gibt also unendliche viele Lösungen für diese Gleichung.

Answer 2

A*X berechnet und gleich -2x gesetzt.

Dann hatte ich 3 gleichungen

Soweit richtig.

bei dem geometrisch interpretieren bin ich ganz raus

Laut deiner Rechnung werden Vektoren der Form

        $\vec{v} = r\cdot\begin{pmatrix}1\\0,5\\-1,75\end{pmatrix}$

durch Anwendung der Matrix $A$ in der Länge verdoppelt, in der Orientierung umgekehrt, aber ansonsten in ihrer Richtung nicht verändert.

Aber ...

bisschen umgeformt und ich habe erhalten dass x=

... da hast du dich verrechnet. Da gehört $0,25x_1$ anstatt $x_1$ in die erste Zeile.

Comments

Ok danke schonmal.

Hab das mal in einen LGS Rechner eingesetzt und bekommen:

x1=-0,143x3
x2=-0,286x3
x3=x3

Für mich auch sehr komische Werte aber in Ordnung.

Das geometrische Interpretieren hab ich allerdings leider gar nicht verstanden?

Wie sind die x1,x2,x3 werte generell zu verstehen um sie geometrisch interpretieren zu können`?

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Für mich auch sehr komische Werte

Weil du mit Dezimahlzahlen gerechnet hast. was du da stehen hast sollte eigentlich

$\begin{aligned}x_1 &= -\frac{1}{7}x_3\\x_2&=-\frac{2}{7}x_3\\x_3&=x_3\end{aligned}$

Wenn du die rechte Seite mit $-\frac{7x_1}{4x_3}$ multiplizierst, dann bekommst du fast wieder deine ursprüngliche Lösung (d.h. bis auf den Rechenfehler in der ersten Komponente).

Wie sind die x1,x2,x3 werte generell zu verstehen

Das sind die Koordinaten eines Punktes im dreidimensionalen Koordinatensystem. Der Vektor

        $\vec{x}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$

ist dann der Vektor vom Ursprung zu diesem Punkt.