Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Deine Überlegungen sind korrekt, aber bei der Durchführung hast du dich vertan. Du kannst nicht einfach den Vektor von der Matrix subtrahieren, das wäre die Subtraktion einer 3×1-Matrix von einer 3×3-Matrix. Die ist jedoch nicht definiert. Der "Trick" ist hier, dass du eine Einheitsmatrix einbaust. Die Multiplikation eines Vektors x mit einer Einheitsmatrix E lässt den Vektor ungeändert, also E⋅x=x.
Ich mache diesen Schritt mal ganz ausführlich:
⎝⎛14123312−1⎠⎞⋅⎝⎛x1x2x3⎠⎞=−2⋅⎝⎛x1x2x3⎠⎞⎝⎛14123312−1⎠⎞⋅⎝⎛x1x2x3⎠⎞+2⋅⎝⎛x1x2x3⎠⎞=⎝⎛000⎠⎞⎝⎛14123312−1⎠⎞⋅⎝⎛x1x2x3⎠⎞+2⋅⎝⎛100010001⎠⎞⋅⎝⎛x1x2x3⎠⎞=⎝⎛000⎠⎞⎝⎛14123312−1⎠⎞⋅⎝⎛x1x2x3⎠⎞+⎝⎛200020002⎠⎞⋅⎝⎛x1x2x3⎠⎞=⎝⎛000⎠⎞⎣⎢⎡⎝⎛14123312−1⎠⎞+⎝⎛200020002⎠⎞⎦⎥⎤⋅⎝⎛x1x2x3⎠⎞=⎝⎛000⎠⎞⎝⎛341253121⎠⎞⋅⎝⎛x1x2x3⎠⎞=⎝⎛000⎠⎞
Die Lösung dieses Gleichungssystems ist eine Gerade:⎝⎛x1x2x3⎠⎞=λ⋅⎝⎛−1−27⎠⎞;λ∈REs gibt also unendliche viele Lösungen für diese Gleichung.