Aloha :)
Gegeben:\(\quad f:\;M\to N\quad;\quad g:\;N\to R\).
zu a) Injektivität heißt, dass jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal getroffen wird.$$g(f(x_1))=g(f(x_2))\stackrel{g\text{ ist injektiv}}{\implies}f(x_1)=f(x_2)\stackrel{f\text{ ist injektiv}}{\implies}x_1=x_2$$Das heißt im Umkehrschluss:$$x_1\ne x_2\implies g(f(x_1))\ne g(f(x_2))$$Wenn also \(f\) und \(g\) injektiv sind, ist auch die Verkettung \(g\circ f\) injektiv.
zu b) Surjektiv heißt, dass jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal getroffen wird.
Wähle ein \(c\in R\) beliebig, aber fest. Da \(g\) surjektiv ist, gibt es ein \(b\in N\) mit \(c=g(b)\). Da \(f\) ebenfalls surjektiv ist, gibt es ein \(a\in M\) mit \(b=f(a)\). Für das gewählte \(c\) gibt es also ein \(a\) mit \(c=g(f(a))\). Da \(c\) beliebig gewählt werden kann, gilt also:$$\forall c\in R:\;\exists a\in M:\;c=(g\circ f)(a)$$Wenn also \(f\) und \(g\) surjektiv sind, ist auch die Verkettung \(g\circ f\) surjektiv.
zu c) Bijektivität heißt, dass jedes Element der Zielmenge genau 1-mal getroffen wird.
Da eine Funktion genau dann bijektiv ist, wenn sie injektiv und surjektiv ist, gilt mit (a) und (b) auch, dass die Verkettung bijektiver Funktionen wieder bijektiv ist.
