Ich habe gestern im Unterricht eine Übungsaufgabe bekommen. Die Aufgabe ist:
Im Unterricht habe ich behauptet, dass sich jede Lösung eines inhomogenen linearen Gleichungssystems \( M \vec{x}=\vec{b} \) darstellen lässt als eine spezielle Lösung des inhomogenen Systems \( \vec{x}_{\text {spez }} \) plus eine Lösung \( \vec{x}_{0} \) des zugehörigen homogenen Systems \( M \vec{x}=\overrightarrow{0} \).
Dies soll in den folgenden Schritten bewiesen werden. Nutze dazu, dass die Abbildung, die durch die Matrix \( M \) dargestellt wird, linear ist.
a) Zeige zuerst, dass \( \vec{x}_{\text {spe }}+\vec{x}_{0} \) eine Lösung von \( M \vec{x}=\vec{b} \) ist.
b) Zeige dann, dass für zwei Lösungen \( \vec{x}_{\text {spe }}, \vec{x}_{\text {spez }}^{\prime} \) von \( M \vec{x}=\vec{b} \) die Differenz \( \vec{x}_{\text {spez }}-\vec{x}_{\text {spez }}^{\prime} \) eine Lösung von \( M \vec{x}=\overrightarrow{0} \) ist.
c) Begründe mit a) und b), dass es eine Eins-zu-Eins-Abbildung zwischen den Lösungen von \( M \vec{x}=\overrightarrow{0} \) und den Lösungen von \( M \vec{x}=\vec{b} \) gibt. Begründe kurz, um welche Art von Abbildung es sich dabei handelt (affin oder linear).
Nur leider habe ich überhaupt keine Ahnung wie ich diese angehen soll. Kann mir jemand helfen? Ein Ansatz würde reichen... Danke
