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Es seien \( n, m \in \mathbb{N}, n \leq m, A \in M(n, m) \) und \( \underline{\mathbf{b}} \in \mathbb{R}^{n} . \) Weiter se
(für ein \( k \leq m)\left(\underline{\mathbf{x}}^{(1)}, \underline{\mathbf{x}}^{(2)}, \ldots, \underline{\mathbf{x}}^{(k)}\right) \) eine Basis von kern \( A \).

Mit \( \underline{\mathbf{y}}_{s}^{(1)} \) und \( \underline{\mathbf{y}}_{s}^{(2)} \) seien zwei spezielle Lösungen des inhomogenen Systems \( A \underline{\mathbf{x}}=\underline{\mathbf{b}} \) bezeichnet (falls existent) und es seien

\( \begin{array}{ll} L_{1} & :=\left\{\underline{\mathbf{x}} \in \mathbb{R}^{m}: \underline{\mathbf{x}}=\underline{\mathbf{y}}_{s}^{(1)}+\sum \limits_{j=1}^{k} \lambda_{j} \underline{\mathbf{x}}^{(j)}, \lambda_{i} \in \mathbb{R}, i=1,2, \ldots k\right\}, \\ L_{2} & :=\left\{\underline{\mathbf{x}} \in \mathbb{R}^{m}: \underline{\mathbf{x}}=\underline{\mathbf{y}}_{s}^{(2)}+\sum \limits_{j=1}^{k} \mu_{j} \underline{\mathbf{x}}^{(j)}, \mu_{i} \in \mathbb{R}, i=1,2, \ldots k\right\} . \end{array} \)

Zeigen Sie: \( L_{1}=L_{2} \)

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Hi,

 

Weil $$ A\left(y_s^{(1)}-y_s^{(2)}\right)=0 $$ gilt gehört $$ y_s^{(1)}-y_s^{(2)} $$ zu Kern(A) und hat somit eine Darstellung der Form $$ \sum_{j=1}^k\alpha_j*x^{(j)} $$ mit geeigneten $$ \alpha_j $$ Also gilt $$ y_s^{(1)}=y_s^{(2)}+\sum_{j=1}^k\alpha_j*x^{(j)} $$ Sei jetzt x ein Element von $$ L_1 $$ dann gilt $$ x=y_s^{(1)}+\sum_{j=1}^{k}\lambda_jx^{(j)}=y_s^{(2)}+\sum_{j=1}^k\alpha_j*x^{(j)}+\sum_{j=1}^{k}\lambda_jx^{(j)}=y_s^{(2)}+\sum_{j=1}^k\beta_j*x^{(j)} $$ mit $$ \beta_j=\alpha_j+\lambda_j $$ Also ist x ein Eleent von L2. D.h. L1 ist Teilmenge von L2. Umgekehrt kann man genauso beweisen, dass L2 eine teilmenge von L1 ist und damit sind die Mengen L1 und L2 identisch.

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