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kann mir jemand bei der folgenden Aufgabe helfen?

Bestimmen Sie im Ausdruck (x+y2+z)15 die Koeffizienten vor den Monomen x6y10z4, x5y8z6 und

x6y8z6


(Ich weiß, dass es diese Frage hier schon von jemand anderes vor paar Jahren gestellt wurde, aber leider verstehe ich die Erklärungen dazu nicht?)

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Aloha :)

Gegeben ist uns der Ausdruck: \(\left(x+y^2+z\right)^{15}=\underbrace{(x+y^2+z)\cdots(x+y^2+z)}_{\text{15 Faktoren}}\)

zu a) Bei dem Monom \(x^6y^{10}z^4\) müssen wir

aus den 15 Faktoren 6-mal \(x\) auswählen: \(\binom{15}{6}=5005\) Möglichkeiten,

aus den verbliebenen 9 Faktoren 5-mal \(y^2\) auswählen: \(\binom{9}{5}=126\) Möglichkeiten,

aus den verbliebenen 4 Faktoren 4-mal \(z\) auswählen: \(\binom{4}{4}=1\) Möglichkeit

Das ergibt den Vorfaktor: \(630\,630\).


zu b) Bei dem Monom \(x^5y^{8}z^6\) müssen wir

aus den 15 Faktoren 5-mal \(x\) auswählen: \(\binom{15}{5}=3003\) Möglichkeiten,

aus den verbliebenen 10 Faktoren 4-mal \(y^2\) auswählen: \(\binom{10}{4}=210\) Möglichkeiten,

aus den verbliebenen 6 Faktoren 6-mal \(z\) auswählen: \(\binom{6}{6}=1\) Möglichkeit

Das ergibt den Vorfaktor: \(630\,630\).


zu c) Das Monom \(x^6y^{8}z^6\) kommt nicht vor. Wir müssten 6-mal \(x\) auswählen, 4-mal \(y^2\) und 6-mal \(z\). Dafür bräuchten wir 16 Faktoren, haben aber nur 15.

Avatar von 148 k 🚀

Wie kommt man bei a) auf die 5 und die 4? :)

Du kannst aus jeder der 15 Klammern entweder ein \(x\), ein \(y^2\) oder ein \(z\) auswählen.

Für das Monom \(x^6y^{10}z^4\) bzw. \(x^6(y^2)^5z^4\) brauchst du:

6-mal ein \(x\), und hast dann noch 9 Klammern nicht angefasst.

5-mal ein \(y^2\), und hast dann noch 4 Klammern nicht angefasst.

4-mal ein \(z\)

servus, und wie mache ich das dann, wenn das polynom eine zahl vorher stehen hat, z.b. (3x + 4y^2 + 12z)^15


lg

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