Q hat eine rein imaginäre Nullstelle, wie kann ich diese Aufgabe dann mit dem Horner-Schema faktorisieren?

Question

Aufgabe

$$Q(x)=x^4-2x^3+6x^2-8x+8$$

Problem/Ansatz:

Q hat eine rein imaginäre Nullstelle, wie kann ich diese Aufgabe dann mit dem Horner-Schema faktorisieren?

Comments

Vorschlag: Wenn es eine rein imaginäre Nullstelle gibt, dann ist das Polynom durch \(x^2+a^2\) mit geeignetem \(a\in\mathbb R\) teilbar. Wenn es eine "vernünftige" Nullstelle ist, dann ist \(a^2\) ein Teiler von \(8\). In der Tat findet man so, dass \(Q(x)=(x^2+4)(x^2-2x+2)\) ist.

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Kannst du mir erklären, wie du auf das $$x^2+a^2$$ kommst?

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Um welche Aufgabe geht es?

Übrigens, Aufgaben werden normalerweise nicht faktorisiert, sondern bearbeitet.

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Es geht um die Aufgabe $$Q(x)=x^4-2x^3+6x^2-8x+8$$

Ich weiß nicht, wie ich dort das Horner-Schema anwenden kann da es nur rein imaginäre Nullstellen gibt.

Answer 1

Ich weiß nicht, wie ich dort das Horner-Schema anwenden kann da es nur rein imaginäre Nullstellen gibt.

Was hast du denn am Beitrag von Arsinoë4 nicht verstanden? Wenn es eine schöne Nullstelle ist dann ist a^2 ein Teiler von 8.

Also probiere für a^2 = 1 oder a^2 = 4.

Oder erkenne das wohl a^2 = 4 zur Lösung führt

(x^4 - 2·x^3 + 6·x^2 - 8·x + 8)/(x^2 + 4) = x^2 - 2·x + 2

x^2 - 2·x + 2 = 0 --> x = 1 - i ∨ x = 1 + i

Also sind die Nullstellen 1 ± i ; ± 2·i

Comments

Was hast du denn an der Frage von C nicht verstanden?

Bei A steht doch nur  findet man so , aber überhaupt nicht, wie der Co-Faktor mit dem Horner-Schema (das ist nämlich die eigentliche Frage) gefunden werden kann, und auch du gehst mit keinem Wort darauf ein.