Vereinigungsmenge, Schnittmenge, Indexmenge

Question

Aufgabe:

Es sei \( I \) eine beliebige (nicht notwendigerweise endliche) Indexmenge. Ferner seien Mengen \( A \) und \( B_{i} \) für jedes \( i \in I \) gegeben. Zeigen Sie:

\( A \cup \bigcap_{i \in I} B_{i}=\bigcap_{i \in I}\left(A \cup B_{i}\right) \)

Answer 1

Sei \( x ∈  A \cup \bigcap_{i \in I} B_{i} \)

==>   x ∈  A  oder  \( x ∈  \bigcap_{i \in I} B_{i} \)

==>   x ∈  A oder für alle i∈I gilt x ∈  B_i

==> für alle i∈I gilt   x ∈  A oder  x ∈  B_i

==> für alle i∈I gilt   x ∈  A ∪ B_i  

\(  x ∈ \bigcap_{i \in I}\left(A \cup B_{i}\right) \)

Andere Inklusion entsprechend.