Mengenbeweis 2 (Schnittmenge, Vereinigungsmenge,...) Zeigen, dass M = N ⇔ (M ∩ N = M ∪ N)

Question

Hay, ich habe noch eine Aufgabe von meinem Professor bekommen. Durch die Hilfe bei einer vorherigen Aufgabe habe ich bei dieser Aufgabe schon einen Ansatz.

Aufgabe:

Seien M und N Mengen. Zeigen Sie, dass M = N ⇔ (M ∩ N = M ∪ N)

Nun mein Ansatz:

M = N ⇔ (M ∩ N = M ∪ N)

x ∈ M ⇒ x ∈ N ⇔ (x ∈ M ∩ N = x ∈ M ∪ N)

x ∈ M ⇒ x ∈ N ⇔ ((x ∈ M ∧ x ∈ N) = (x ∈ M ∨ x ∈ N))

Nun stecke ich aber wieder fest. Hoffe mir kann jemand helfen.

Answer 1

Nun mein Ansatz:

M = N ⇔ (M ∩ N = M ∪ N)

Seien also M, N Mengen mit M=N

und sei x ∈ M ∩ N

==>  x ∈ M  Λ x ∈ N  (wenn die und-Verbindung wahr ist, dann auch die mit oder)

==>    x ∈ M  ∨ x ∈ N

 x ∈ M ∪ N   . Also hast du schon mal  M ∩ N ⊄ M ∪ N.

Dann andere Richtung

 x ∈ M ∪ N  ==>   x ∈ M  ∨ x ∈ N  wegen M=N liefert aber

sowohl   x ∈ M das Ergebnis   x ∈ M  Λ x ∈ N

als auch x ∈ N das Ergebnis   x ∈ M  Λ x ∈ N

==>  x ∈ M ∩ N.  Damit hast du

M=N ==>    M ∩ N = M ∪ N.

Dann noch die andere Richtung der Äquivalenz.

Also anfangen mit     M ∩ N = M ∪ N.

und daraus schließen    M=N

Also etwa so :   Sei    M ∩ N = M ∪ N.   und x∈ M

==> ................................... ==>  x ∈ N

und umgekehrt  Sei    M ∩ N = M ∪ N.   und x∈ N

==> ...................................==> x∈ M