Quadratische Funktionen berühren

Question

Wie geht das ??

 

Gegeben ist die Funktion f durch f(x)= (x-1)(x-2)

 

Bestimmen sie a so, dass die Parabel mit y=ax² das Schaubild von f beührt

Answer 1

Wenn sich zwei Graphen berühren, dann müssen sie genau einen gemeinsamen Punkt haben (also nicht keinen und nicht zwei oder mehr).

Also Gleichsetzen der Funktionsterme:

( x - 1 ) ( x - 2 ) = a x ²

<=> x ² - 3 x + 2 = a x ²

<=> ( a - 1 ) x ² + 3 x  = 2

<=> x ² + ( 3 / ( a - 1 ) ) x = 2 / ( a - 1 )

<=> x ² + ( 3 / ( a - 1 ) ) x + ( 1,5 / ( a - 1 ) ) ² = ( 2 / ( a - 1 ) ) + ( 1,5 / ( a - 1 ) ) ²

<=> ( x + ( 1,5 / ( a - 1 ) ) ) ² =  ( 2 / ( a - 1 ) ) + ( 1,5 / ( a - 1 ) ) ²

<=> x + ( 1,5 / ( a - 1 ) ) = ± √ (  ( 2 / ( a - 1 ) ) + ( 1,5 / ( a - 1 ) ) ²  )

<=> x = ± √ (  ( 2 / ( a - 1 ) ) + ( 1,5 / ( a - 1 ) ) ²  ) - ( 1,5 / ( a - 1 )

Dies Gleichung hat genau dann genau eine Lösung, wenn der Term unter der Wurzel den Wert Null annimmt. Dann nämlich stimmen die positive und die negative Wurzel überein und die Gleichung liefert nur eine Lösung. Also:

( 2 / ( a - 1 ) ) + ( 1,5 / ( a - 1 ) ) ² = 0

( 2 / ( a - 1 ) ) + ( 2,25 / ( a - 1 ) ² ) = 0

[multiplizieren mit ( a - 1 ) ² :]

<=> 2 ( a - 1 ) + 2,25 = 0

<=> 2 a - 2 + 2,25 = 0

<=> 2 a =  - 1 / 4

<=> a = - 1 / 8

Die x-Koordinate des Schnittpunktes liegt damit bei:

x = ± √ (  ( 2 / ( a - 1 ) ) + ( 1,5 / ( a - 1 ) ) ²  ) - ( 1,5 / ( a - 1 )

= 0  - ( 1,5 / ( a - 1 )

= 4 / 3

und die y-Koordinate bei

y = a x ² = - ( 1 / 8 ) * ( 4 / 3 ) = - 1 / 6

Answer 2

Hi,

setze die beiden Funktionen gleich. Achte darauf, dass es eine doppelte Nullstelle/Schnittstelle gibt. Das ist der Fall, wenn die Diskriminante in der abc-Formel 0 ergibt.

 

$$(x-1)(x-2) = ax^2$$

$$x^2-3x+2 = ax^2 \quad  |-x^2+3x-2$$

$$ax^2-x^2+3x-2 = 0$$

abc-Formel:

$$x_{1,2} = \frac{-3\pm\sqrt{9-4(a-1)(-2)}}{2(a-1)}$$

Uns interessiert wie gesagt nur die Diskriminante. Nur wenn diese 0 ist, spielt das doppelte Vorzeichen keine Rolle und x₁ = x₂

\(9-4(a-1)(-2) = 9+8(a-1) = 9+8a-8 = 1+8a = 0\)

Folglich muss a = -1/8 sein. Die Parabel lautet also y = -1/8x²

 

Scheint zu stimmen:

 

Grüße

Comments

Wie kamt ihr jetzt genau darauf?

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Also ich verstehe die Zwischenschritte nicht

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Wo hängt es?

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Bis zu dem Schritt:

0=(a-1)x^2+3x-2

verstehe ich es aber bei den ganzen Schritten danach komme ich überhaupt nicht mehr mit...

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Danach wurde die Mitternachtsformel (abc-Formel zur Lösung von quadratischen Gleichungen) verwendet, wobei das a der Mitternachtsformel zufälligerweise die Klammer (a-1) ist.

Zur Erinnerung: Hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Diskriminante#Diskriminante_einer_quadratischen_Gleichung

kannst du nachlesen, was es mit der Diskriminante einer quadratischen Gleichung auf sich hat.