Frage Diskrete Strukturen

Question

Aufgabe:

Aufgabe \( 1.4 \) (25 Punkte) Zu zeigen ist folgende Behauptung:
Angenommen, Sie haben \( i \) und \( n \) gegeben, sodass \( \left(\begin{array}{c}n \\ i\end{array}\right)>\left(\begin{array}{c}n \\ i+1\end{array}\right) \) gilt. Dann ist \( i \geq\lceil n / 2\rceil \).

Problem/Ansatz:

Hi, ich komme hier nicht ganz weiter. Also mein Ansatz wäre erstmal beide seiten der Ungleichung auszuschreiben, jedoch wäre dies ja sinnfrei, da ich ja nicht einfach kürzen kann dann.  Ich bräuchte einen kleinen Denkanstoß:)

Danke

Comments

Doch, schreib mal linke und rechte Seite aus. Dann nutze aus, dass Du eine Ungleichung äquivalent umformen kannst, indem Du auf beiden Seiten dieselbe positive Zahl dividierst oder multiplizierst. Dann steht in wenigen Sekunden das gewünschte Ergebnis da.

Gruß Mathhilf

Answer 1

\(\begin{aligned} {n \choose i} & >{n \choose i+1}\\ \frac{n!}{i!\left(n-i\right)!} & >\frac{n!}{\left(i+1\right)!\left(n-\left(i+1\right)\right)!} &  & |:n!\\ \frac{1}{i!\left(n-i\right)!} & >\frac{1}{\left(i+1\right)!\left(n-\left(i+1\right)\right)!} &  & |\cdot i!\\ \frac{1}{\left(n-i\right)!} & >\frac{1}{\left(i+1\right)\left(n-\left(i+1\right)\right)!} &  & \text{usw.} \end{aligned}\)