Zeigen Sie,dass π◦σ=σ◦ π

Question

Guten Tag!

Ich versuche seit gestern die folgende Aufgabe zu lösen, leider ich komme nicht ein Schritt weiter :/. Könnte jemand vielleicht mir helfen? Ich würde sehr dankbar sein.

Die Aufgabe lautet:

Seien 2 ≤ p,q ≤ n ganze Zahlen.

Weiter seien π := (a1 ... ap) und σ := (b1 ... bq) disjunkte Zykel in Sn (Symmetrische Gruppe) ,d.h. ai ̸=bj für alle 1≤i≤p, 1≤j≤q. Zeigen Sie,dass

π◦σ=σ◦π.

π◦σ= (a1 ... ap) ◦ (b1,…bq)=…

Answer 1

Hallo,

mach einfach Fallunterscheidungen:

1. \(x =a_i\); dann

$$\sigma(\pi(a_i))=\sigma(a_{i+1})=a_{i+1}=\pi(a_i)=\pi(\sigma(a_i))$$

(mit der Einigung, dass \(a_{p+1}=a_1\) ist)

2. \(x=b_i\); dann

$$\sigma(\pi(b_i))=\sigma(b_i)=b_{i+1}=\pi(b_{i+1})=\pi(\sigma(b_i))$$

ebenso

3. sonst lassen beide Permutationen das Argument unverändert.

Gruß Mathhilf

Comments

Danke sehr für deine Antwort, aber kannst du bitte mir sagen, warum \(a_{p+1}=a_1\) ist?

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Das war etwas salopp gesagt. Aber die Funktion ist doch so definiert: \(\pi(a_{p})=a_1\).

Also muss man in meiner Lösung den Fall i=p gesondert aufschreiben, oder man sagt eben \(a_{p+1}\) meint \(a_1\).

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Alles klar!

Ich bedanke mich sehr.