Lokalen Diffeomorphismus zeigen

Question

ich sitze gerade an einer Aufgabe und versuche es zu lösen.

Seienθ>0 und f:ℝ² →ℝ²\{(0,0)  }durch f (x, y) = (e^θx cos(θy), e^θx sin(θy))
gegeben. Zeigen Sie, das
• f lokaler Diffeomorphismus ist,

• f surjektiv ist,
• f nicht injektiv ist.

Dass die Funktion ein lokaler Diffeomorphismus ist habe ich herausgefunden.

Nun ich weiß nicht wie ich bei der Subjektivität anfangen soll.Normalerweise ist die Definition :  ∀y∈Y∃x∈X mit f(x)=y

Ich habe jetzt zwei 2 Variablen, deshalb weiß ich nicht wie ich damit umgehen soll.

Bei der Injektivität : vielleicht zeigen, dass f(x,y) =f(x´,y´). Aber auch hier komme ich ,leider nicht voran, da der Logarithmus mit ins Spiel kommt und ich das mit cos und sin nicht auflösen kann.

Ich wäre über eure Hilfe sehr dankbar !

Gruß

Answer 1

Zur Surjektivität:

Sei $(u,v)$ im Wertebereich vorgegeben. Gesucht ist $(x,y)$ mit

$(u,v)=(e^{\theta x}\cos(\theta y),e^{\theta x}\sin(\theta y))$.

Dann ist $u^2+v^2=e^{2\theta x}$, also

$x=\frac{1}{2 \theta}\ln(u^2+v^2)$ zu wählen.

Wegen $(u,v) \neq (0,0)$ ist $u\neq 0$ oder $v\neq 0$.

Im Falle $u\neq 0$ wähle $y=\frac{1}{\theta}\arctan(v/u)$.

Analog der Fall $v\neq 0$ mit dem Arcuscotangens.

Injektivität ist natürlich nicht gegeben wegen der Periodizität

von Sinus und Cosinus.

Comments

Vielen Dank, bin die Aufgabe durchgegangen und habe es verstanden das mit Injektivität stimmt ,macht natürlich Sinn.

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Hallo,

vielleicht noch der Hinweis, dass die Winkelbestimmung etwas komplizierter ist. Die Formel mit dem arctan liefert ja nur Winkel im Bereich $(-0.5 \pi,0.5\pi)$. Man muss feststellen, in welchem Quadranten (u,v) liegt und eventuell eine Korrektur verwenden.

Gruß Mathhilf

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Danke für den Hinweis, Mathhilf!

Gruß ermanus