Wie löst man diese Aufgabe mithilfe des Gauß-Verfahrens?

Question

Gauß Verfahren Hilfe

Guten Abend an die Community,

wir behandeln momentan das Thema Gauss Verfahren. Bei einer Aufgabe habe ich jedoch Schwierigkeiten. Könnt ihr mir weiterhelfen und erklären, wie ihr die diese Aufgabe berechnet?

Danke im voraus!

Die Aufgabe im Buch sieht folgendermaßen aus:

2x+6y-3z =-6

4x+3y+3z =6

4x-3y

Comments

Die letzte Gleichung scheint nicht ganz vollständig zu sein.

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Danke für die Rückmeldung. Ich habe das auch bemerkt und daraufhin mein Lehrer angesprochen. Er meinte jedoch, dass es so sein soll. Die Schwierigkeit steckt somit drinne. Deshalb wollte ich mich an euch wenden mit der Hoffnung, dass jemand durchblicken kann.

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4x-3y ist keine Gleichung.

4x-3y gehört deshalb nicht zum Gleichungssystem.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Nun gut, nach der Klärung kannst du die letzte Zeile $4x-3y$ einfach vergessen, weil mit ihr keine Bedingung verknüpft ist. Das heißt, wir haben nur 2 Gleichungen für 3 Unbekannte. Wir wenden den Gauß-Algorithmus mit dem Ziel an, so viele Spalten wie möglich zu erzeugen, die lauter Nullen und genau eine Eins enthalten:$$\begin{array}{rrr|r|l}x & y & z & = &\text{Aktion}\\\hline2 & 6 & -3 & -6 &\\4 & 3 & 3 & 6 &-2\cdot\text{Zeile 1}\\\hline2 & 6 & -3 & -6 &\\0 & -9 & 9 & 18 &\colon9\\\hline2 & 6 & -3 & -6 &+3\cdot\text{Zeile 2}\\0 & -1 & 1 & 2 &\\\hline2 & 3 & 0 & 0 &\colon2\\0 & -1 & 1 & 2 &\\\hline1 & 3/2 & 0 & 0 &\\0 & -1 & 1 & 2 &\end{array}$$Daraus können wir zwei Bedingungen ablesen:$$x+\frac32y=0\quad;\quad -y+z=2\quad\text{bzw.}\quad x=-\frac32y\quad;\quad z=2+y$$Damit können wir alle Lösungen angeben:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac32y\\[0.5ex]y\\2+y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}-\frac32\\[0.5ex]1\\1\end{pmatrix}$$Wie erwartet, ergibt die fehlende dritte Gleichung am Ende eine Variable, die wir völlig frei wählen dürfen. Es gibt unendlich viele Lösungen.